Diagrama de Venn

Um diagrama de Venn mostrando a intersecção de dois conjuntos.

Os diagramas de Venn são diagramas usados na teoria dos conjuntos para representar conjuntos, seus elementos e relações de continência e pertinência. Eles consistem em curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a permitir que todas as relações logicamente possíveis sejam representadas.

John Venn desenvolveu seus diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática.

Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, dificuldades aparecem quando tenta-se usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, dentre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

História

Vitral no refeitório do Caius College, Universidade de Cambridge, em homenagem a Venn e a seus diagramas.

Os diagramas de Venn receberam seu nome a partir de seu criador, John Venn, matemático e filósofo britânico do século XIX. Estudante e depois professor no Caius College da Universidade de Cambridge, desenvolveu ali toda sua produção intelectual.

Venn introduziu seus diagramas em um trabalho de lógica formal publicado em Julho de 1880, intitulado Da representação mecânica e diagramática de proposições e raciocínios. Tradicionalmente, atribui-se a Leibniz a primeira forma de representação geométrica de silogismos, embora diagramas similares remontem a referências tão antigas quanto Ramon Lull, ainda no século XIII. Na época de Venn, outros lógicos trabalharam sobre a mesma ideia, como Boole e De Morgan. A importância do trabalho de Venn foi levar em conta abrangentemente tais trabalhos, bem como formalizar os diagramas.

O próprio Venn não se referia ao diagrama como invenção sua, mas os chamava de círculos eulerianos, referindo-se aos diagramas criados por Leonhard Euler no século XVIII. Na frase de abertura de seu artigo, Venn diz:

Esquemas de representação diagramática tem sido tão familiarmente introduzidos nos tratados de lógica durante o último século que muito leitores, mesmo aqueles que não fizeram qualquer estudo profissional de lógica, podem ser supostos terem familiaridade com a noção geral de tais objetos. Dentre tais esquemas, apenas um -- aquele comumente chamado 'círculos eulerianos', encontrou qualquer aceitação mais geral... (tradução livre)

A primeira referência escrita ao termo Diagrama de Venn parece ter aparecido apenas em 1918, no livro de Clarence Irving Lewis, A Survey of Symbolic Logic. Mais adiante, Venn desenvolveu ainda mais seu método no livro Lógica simbólica, publicado en 1881 con o mote de interpretar e corrigir os trabalhos de Boole em lógica formal. Em 1883, foi eleito para a Royal Society e, em 1889, publicou uma nova expansão de seu trabalho, com o livro Princípios da lógica empírica.

No século XX, os diagramas de conjuntos passaram por novos desenvolvimentos. D. W. Henderson mostrou, em 1963, que a existência de um diagrama de Venn para N conjuntos com N eixos de simetria implica que N deve ser um número primo. Ele mostrou também que tais diagramas simétricos existem quando N é 5 ou 7. Em 2002, Peter Hamburger encontrou diagramas simétricos para N = 11 e, em 2003, Griggs, Killian e Savage mostraram que diagramas simétricos existem para todos os outros primos.

A partir da década de 1960, os diagramas de Venn foram incorporados ao ensino escolar de matemática, notadamente no ensino de teoria dos conjuntos e de funções, como parte do movimento da Matemática Moderna.. Desde então, seu uso foi grandemente difundido, sendo aplicado mesmo em áreas distantes como compreensão de textos

Diagramas

Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Lewis, o "princípio desses diagramas é que classes [ou conjuntos] sejam representadas por regiões, com uma tal relação umas com as outras que todas as relações logicamente possíveis entre as classes podem ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama, em princípio, tem espaço para qualquer relação possível entre as classes; então a relação que realmente existe pode ser especificada indicando que alguma região em particular é vazia ou não-vazia".

Podemos escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja ${\textbf {C}}=(C_{1},C_{2},\ldots C_{n})$ uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções $X_{1}\cap X_{2}\cap \ldots \cap X_{n}$, onde cada $X_{i}$ é o interior ou o exterior de $C_{i}$, é não-vazia. Em outras palavras, isso é quando todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível -- ver paradoxo de Russell). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Vejamos alguns exemplos práticos.

Dois conjuntos

Ver artigo principal: Conjunto#Operações com conjuntos

Conjuntos A e B.

Considere o seguinte exemplo: chamemos de A o conjunto dos animais que possuem duas pernas (bípedes) e de B o conjunto dos animais que podem voar. Representemos o primeiro como um círculo à esquerda do diagrama (laranja) e o último como um círculo à direita (azul). Assim, cada espécie será representada por um ponto em algum lugar do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo laranja, na parte dele que não se superpõe com o círculo azul. Os mosquitos, que tem seis pernas e voam, seriam representados dentro do círculo azul, fora da superposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na zona em que os círculos coincidem já que eles são bípedes e podem voar. Além disso, criaturas como baleias ou serpentes seriam marcadas no retângulo, fora dos dois círculos, já que elas não possuem duas pernas nem voam.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representam quatro áreas distintas:

• Animais que possuem duas pernas e não voam (laranja sem sobreposição)
• Animais que voam e não possuem duas pernas (azul sem sobreposição)
• Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição)
• Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco)

Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, interseção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas vermelhas no diagrama:

Diferença de A para B: $A\setminus B$ Diferença de B para A: $B\setminus A$ Interseção de dois conjuntos: $~A\cap B$ Complementar de dois conjuntos: $U\setminus (A\cup B)$

Além disso, essas quatro áreas podem se combinar de 16 maneiras. Por exemplo, podemos nos perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características; tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B.

União de dois conjuntos: $~A\cup B$ Diferença simétrica de dois conjuntos: $A~\Delta ~B$ Complementar de A em U: $A^{c}~=~U\setminus A$ Complementar de B em U: $B^{c}~=~U\setminus B$

Três conjuntos

Em seu trabalho, entretanto, Venn não deu muita atenção aos diagramas de dois conjuntos, focando-se nos diagramas de três conjuntos. Estendendo esse exemplo, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define oito áreas distintas, que podem combinar-se de $2^{8}~=~256$ maneiras diferentes.

Diagrama de Venn mostrando todas as interseções possíveis entre A, B e C. União de três conjuntos: $~A\cup B\cup C$ Interseção de três conjuntos: $~A\cap B\cap C$ $A\setminus (B\cup C)$ $(B\cup C)\setminus A$

Extensões para mais conjuntos

Para representar quatro ou mais conjuntos, torna-se difícil fazer uma figura simples e simétrica as possibilidades de interseção. É fácil perceber que não é possível faze-lo apenas com círculos; outras representações precisam ser buscadas.

Construção de Venn

Venn preocupava-se em encontrar uma representação usando "figuras simétricas ... elegantes em si mesmas". Sua primeira representação para quatro conjuntos, foi a intersecção de elipses. Além disso, ele desenvolveu um método geral para qualquer número de conjuntos, em que cada curva sucessiva delimita um conjunto que perpassa todos os outros, a partir do diagrama com três círculos.

O diagrama acima com quatro círculos não é um diagrama de Venn, porque nem todas as regiões possíveis são representadas. Por exemplo, não há uma região em que apenas o círculo azul e o amarelo se intersectem. Construção de Venn para representar quatro conjuntos com quatro elipses. Diagrama de Venn para cinco conjuntos usando elipses congruentes em um arranjo radialmente simétrico, desenvolvido por Branko Grünbaum. A legenda foi simplificada para melhorar a legibilidade. Por exemplo, A denota A ∩ Bc ∩ Cc ∩ Dc ∩ Ec (ou A ∩ ~B ∩ ~C ∩ ~D ∩ ~E), enquanto BCE denota Ac ∩ B ∩ C ∩ Dc ∩ E (or ~A ∩ B ∩ C ∩ ~D ∩ E).

Construção geral de Venn para 4 conjuntos Construção geral de Venn para 5 conjuntos Construção geral de Venn para 6 conjuntos

Construção de Edwards

Anthony W. F. Edwards também desenvolveu um método para diagramas de Venn com números arbitrários de conjuntos, usando projeção estereográfica. Por exemplo, pode-se representar três conjuntos tomando três hemisférios de uma esfera, em ângulos retos (x=0, y=0 y z=0). Para adicionar um quarto conjunto, podemos desenhar uma curva similar à junção de uma bola de tênis. Os conjuntos resultantes podem ser projetados novamente sobre o plano para mostrar diagramas de engrenagens, com quantidades cada vez maiores de dentes.

Diagrama de Edwards para três conjuntos.

Diagrama de Edwards para quatro conjuntos.

Diagrama de Edwards para cinco conjuntos.

Diagrama de Edwards para seis conjuntos.

Os diagramas de Edwards são topologicamente equivalentes aos diagramas desenhados por Branko Grünbaum, que se baseiam em polígonos intersectados, com quantidades crescentes de lados. Phillip Smith montou diagramas similares para n conjuntos, usando curvas senoidais em equações da forma y=sin(2ⁱx)/2ⁱ, 0 ≤i ≤n-2.

Representações com mais dimensões

Outra maneira de representar diagramas usando computadores é por meio de sólidos de dimensão superior. Abaixo, quatro esferas intersectadas, em uma figura completamente simétrica. As 16 intersecções correspondem aos vértices de um tesserato.

Diagramas similares

Diagramas de Euler

Diagrama de Euler.

Os diagramas de Euler, criados antes dos diagramas de Venn, são similares a a estes, usando normalmente círculos intersectados; sua diferença é que ele snão precisam mostrar todas as possíveis relações, mas apenas as relações específicas de cada problema. Isso torna a representação, na maioria dos casos, visualmente mais simples.

Por exemplo, se chamarmos de A o conjunto de todas as marcas de chocolate, de B todas as marcas de comida e de C todas as marcas de querosene, é fútil usar um diagrama de Venn. Sabemos que todos os chocolates são comestíveis, então A é um subconjunto de B; por outro lado, sabemos que nenhum querosene é comestível, então a interseção entre B e C (e consequentemente entre A e C) é nula. Assim, o diagrama de Euler ao lado é uma figura mais explicativa.

Diagrama de Johnston

Diagrama de Johnston para a expressão nem A nem B são corretas.

Diagrama de Venn como tabela de verdade

Os diagramas de Johnston são visualmente iguais aos de Venn, mas, em vez de conjuntos, são utilizados para representar proposições e suas operações lógicas. Assim, sendo A e B duas sentenças, a interseção entre os círculos representa a sentença A e B, enquanto a união representa a sentença A ou B e o conjunto complementar a ambos representa nem A nem B.

Mapa de Karnaugh

Ver artigo principal: Mapa de Karnaugh

Os Mapas de Karnaugh ou Diagramas de Veitch são outra forma de representar visualmente expressões de álgebra booleana.

Diagrama de Peirce

Os diagramas de Peirce, criados por Charles Peirce, são extensões dos diagramas de Venn, que incluem informações sobre afirmações existenciais, disjuntivas, de probabilidade e outras.

Ver também

• Diagrama
• Álgebra de Boole
• Teoria de conjuntos

Ligações externas

• LogicTutorial.com: diagrama de Johnston interactivo

Ferramentas para fazer diagramas de Venn

• ConceptDraw
• DrawVenn e DrawEuler
• 3 Circle Venn Diagram Applet
• VennDiagram.tk
• VennDiagrams
• Winvenn
• XFig Programa de desenho gráfico com licença GPL que gera vários códigos, incluindo LaTeX, EPS e PDF.