Álgebra de Borel

Seja X um espaço topológico. A álgebra de Borel ou $\sigma$-álgebra de Borel associada à topologia de X é a menor sigma-álgebra ($\sigma$-álgebra) que contém os abertos da topologia.

Obs: existe uma definição alternativa em que abertos é trocada por conjuntos compactos; essas definições geram a mesma $\sigma$-álgebra no caso de X = $\mathbb{R}^n$ com a topologia usual mas, em geral, essas duas definições não são equivalentes.

Borelianos particulares

• A família $\mathfrak{F}_{\sigma}\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos fechados:

$E=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,~~F_n^{c} \in \tau\,$

• A família $\mathfrak{G}_{\delta}\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos abertos:

$E=\bigcap_{n=1}^{\infty}O_n,~~O_n \in \tau \,$

• A família $\mathfrak{F}_{\sigma \delta}\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos $\mathfrak{F}_{\sigma}\,$:

$E=\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n,~~E_n \in \mathfrak{F}_{\sigma}\,$

• A família $\mathfrak{G}_{\delta\sigma}\,$ é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos $\mathfrak{G}_{\delta}\,$:

$E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,~~E_n \in \mathfrak{G}_{\delta}\,$

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