Álgebra de Borel

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Seja X um espaço topológico. A álgebra de Borel ou \sigma-álgebra de Borel associada à topologia de X é a menor sigma-álgebra (\sigma-álgebra) que contém os abertos da topologia.

Obs: existe uma definição alternativa em que abertos é trocada por conjuntos compactos; essas definições geram a mesma \sigma-álgebra no caso de X = \mathbb{R}^n com a topologia usual mas, em geral, essas duas definições não são equivalentes.

Borelianos particulares[editar | editar código-fonte]

  • A família \mathfrak{F}_{\sigma}\, é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos fechados:
E=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n,~~F_n^{c} \in \tau\,
  • A família \mathfrak{G}_{\delta}\, é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos abertos:
E=\bigcap_{n=1}^{\infty}O_n,~~O_n \in \tau \,
  • A família \mathfrak{F}_{\sigma \delta}\, é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a interseção enumerável de conjuntos \mathfrak{F}_{\sigma}\,:
E=\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n,~~E_n \in \mathfrak{F}_{\sigma}\,
  • A família \mathfrak{G}_{\delta\sigma}\, é formada por todos os conjuntos que podem ser escritos como a união enumerável de conjuntos \mathfrak{G}_{\delta}\,:
E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,~~E_n \in \mathfrak{G}_{\delta}\,

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