Álgebra de Lie semisimples

Em matemática, uma álgebra de Lie é semisimples se ela é uma soma direta de álgebras de Lie simples, i.e., álgebras de Lie não abelianas $\mathfrak g$ nas quais os únicos ideais são triviais ({0} e $\mathfrak g$). Ela é chamada redutiva se ela é a soma de uma álgebra de Lie semisimples e abeliana.

Sendo $\mathfrak g$ uma álgebra de Lie dimensional finita sobre uma corpo de característica 0. As seguintes condições são equivalentes:

• $\mathfrak g$ é semisimples
• a forma de Killing, κ(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), é não-degenerada,
• $\mathfrak g$ não tem ideais abelianos não-zero,
• $\mathfrak g$ não tem ideais solúveis não-zero,
• O radical de $\mathfrak g$ é zero.

Referências

• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9