Álgebra diferencial

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Em matemática, anéis diferenciais, corpos diferenciais e álgebras diferenciais são anéis, corpos e álgebras equipados com uma derivação, a qual é um função unária satisfazendo a lei do produto de Leibniz. Um exemplo natural de corpo diferencial é o corpo de funções sobre os números complexos em uma variável, C(t), onde a derivação é diferenciação com relação a t.

Anel diferencial[editar | editar código-fonte]

Um anel diferencial é um anel R equipado com uma ou mais derivações, isto é, homomorfismos aditivos

\partial:R \to R\,

tais que cada derivação satisfaz a regra do produto de Leibniz

\partial(r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2),\,

para quaisquer r_1, r_2 \in R.

Observe que o anel pode não ser comutativo, então a forma razoavelmente padrão d(xy) = xdy + ydx para a regra do produtoem contextos comutativos pode ser falsa. Se M:R \times R \to R é a multiplicação no anel, a regra do produto é a igualdade

\partial \circ M = 
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + 
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).

em que f\otimes g é a função que leva o par (x,y) no par (f(x),g(y)).

Corpo diferencial[editar | editar código-fonte]

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Referências[editar | editar código-fonte]

  • Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
  • I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
  • E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
  • D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994