Área

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O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área \frac{9}{4}\pi e o triângulo tem área \frac{9}{2}.

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.[1]

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

  • Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
  • Se S e T estão em M então ST e ST também estão e, além disso, a(ST) = a(S) + a(T) − a(ST).
  • Se S e T estão em M e ST então TS está em M e a(TS) = a(T) − a(S).
  • Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
  • Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
  • Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, SQT. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.[3]

Unidades[editar | editar código-fonte]

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões[editar | editar código-fonte]

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

  • 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados
  • 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados
  • 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados
  • 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados
  • 1 milha = 3.097.600 jardas quadradas = 27.878.400 pés quadrados

Outras unidades[editar | editar código-fonte]

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área.

  • 1 are = 100 metros quadrados

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muido usado para medir terrenos e propriedades:

  • 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo

  • 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

Fórmulas de cálculo[editar | editar código-fonte]

Retângulo[editar | editar código-fonte]

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

A = l \times w (área do retângulo)[4]

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

A = l^2 (área do quadrado)[4]

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção[editar | editar código-fonte]

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezóide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezóide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.
A = b \times h (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

A=\frac{b \times h}{2} (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezóide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos[editar | editar código-fonte]

Área do trapézio:

A = \frac{B + b}{2} \times h (B = base maior; b = base menor; h = altura)[5]

Área do losango:

A = \frac{D \times d}{2} (D = diagonal maior; d = diagonal menor)[6]

Área de qualquer polígono regular:

\frac{P \times a}{2} (P = perímetro; a = comprimento do apótema)[7]
Dividindo o círculo em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

Círculo[editar | editar código-fonte]

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio r é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é r e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, \pi r. Resulta que a área do círculo é r \times \pi r, ou seja, \pi r^2:

A = \pi \times r^2 (área do círculo; r = raio)[8]

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente \pi r^2, que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.

Área de uma superfície[editar | editar código-fonte]

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio r é:

A = 4 \pi r^2 (área da esfera)

Lista de fórmulas[editar | editar código-fonte]

Fórmulas comummente usadas para o cálculo da área
Figura Formula Variáveis
Triângulo equilátero \frac{L^2}{4} \sqrt{3} L é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} s é metade do perímetro, a, b e c é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo \tfrac12 a b \mathrm{sen}\,(C) a e b são quaisquer dois lados, e C é o ângulo entre eles.
Triângulo \tfrac12bh b e h são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado s^2 s é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo lw l e w são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango \tfrac12ab a e b são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo bh b é o comprimento da base e h é a altura medida na perpendicular.
Trapezóide \tfrac12(a+b)h a e b são os lados paralelos e h a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular \frac{3L^2}{2} \sqrt{3} L é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular 2(1+\sqrt{2})s^2 s é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular \frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n) l é o comprimento de um dos lados e n o número de lados.
Polígono regular \frac{1}{2}nR^2\cdot \mathrm{sen}\,(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n) R é o raio do círculo circunscrevente, r o raio do círculo interior, e n é o número de lados.
Polígono regular \tfrac12a p a é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e p é o perímetro do polígono.
Círculo \pi r^2\ \text{ou}\ \frac{\pi d^2}{4} r é o raio e d o diâmetro.
Setor circular \tfrac12 r^2 \theta r e \theta são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse \pi ab a e b são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro 2\pi r (r + h) r e h são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro 2 \pi r h r e h são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone \pi r (r + l) r e l são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera 4\pi r^2\ \text{ou}\ \pi d^2 r e d são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide B+\frac{P L}{2} B é a área da base, P o perímetro da base e L a distância do vértice aos cantos da base.

Referências

  1. Facco, Sonia Regina. Conceito de área (em português). pucsp.br. Página visitada em 09/01/2012.
  2. Bureau International des Poids et Mesures (em inglês).
  3. Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.
  4. a b Área do retângulo (em português). mundoeducacao.com.br. Página visitada em 09/01/2012.
  5. Área do trapézio (em português). colegioweb.com.br. Página visitada em 09/01/2012.
  6. Cálculo de área (em português). matematicadidatica.com.br. Página visitada em 09/01/2012.
  7. Área de um polígono Regular (em português). brasilescola.com. Página visitada em 09/01/2012.
  8. Área do círculo (em português). mundoeducacao.com.br. Página visitada em 09/01/2012.

Ver também[editar | editar código-fonte]

O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Área