Área

O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área $\frac{9}{4}\pi$ e o triângulo tem área $\frac{9}{2}$.

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
• Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
• Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
• Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área. (Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.)

Unidades

Ver artigo principal: Unidades de área

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados
• 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados
• 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados
• 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados
• 1 milha = 3.097.600 jardas quadradas = 27.878.400 pés quadrados

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área.

• 1 are = 100 metros quadrados

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muido usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo

• 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

$A = l \times w$ (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

$A = l^2 \,\!$ (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezóide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezóide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.

$A = b \times h$ (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

$A=\frac{b \times h}{2}$ (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezóide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

$A = \frac{B + b}{2} \times h$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)

Área do losango:

$A = \frac{D \times d}{2}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)

Área de qualquer polígono regular:

$\frac{P \times a}{2}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)

Dividindo o círculo em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio $r$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é $r$ e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, $\pi r$. Resulta que a área do círculo é $r \times \pi r$, ou seja, $\pi r^2$:

$A = \pi \times r^2$ (área do círculo; r = raio)

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente $\pi r^2$, que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

$A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.$

Área de uma superfície

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio $r$ é:

$A = 4 \pi r^2 \,\!$ (área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comummente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	$\frac{L^2}{4} \sqrt{3}\,\!$	$L$ é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!$	$s$ é metade do perímetro, $a$, $b$ e $c$ é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	$\tfrac12 a b \sen(C)\,\!$	$a$ e $b$ são quaisquer dois lados, e $C$ é o ângulo entre eles.
Triângulo	$\tfrac12bh \,\!$	$b$ e $h$ são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	$s^2\,\!$	$s$ é o comprimendo de um dos lados do quadrado.
Retângulo	$lw \,\!$	$l$ e $w$ são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	$\tfrac12ab$	$a$ e $b$ são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo	$bh\,\!$	$b$ é o comprimento da base e $h$ é a altura medida na perpendicular.
Trapezóide	$\tfrac12(a+b)h \,\!$	$a$ e $b$ são os lados paralelos e $h$ a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular	$\frac{3L^2}{2} \sqrt{3}\,\!$	$L$ é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular	$2(1+\sqrt{2})s^2\,\!$	$s$ é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	$\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!$	$l$ é o comprimento de um dos lados e $n$ o número de lados.
Polígono regular	$\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!$	$R$ é o raio do círculo circunscrevente, $r$ o raio do círculo interior, e $n$ é o número de lados.
Polígono regular	$\tfrac12a p \,\!$	$a$ é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e $p$ é o perímetro do polígono.
Círculo	$\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!$	$r$ é o raio e $d$ o diâmetro.
Setor circular	$\tfrac12 r^2 \theta \,\!$	$r$ e $\theta$ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse	$\pi ab \,\!$	$a$ e $b$ são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro	$2\pi r (r + h)\,\!$	$r$ e $h$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	$2 \pi r h \,\!$	$r$ e $h$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone	$\pi r (r + l) \,\!$	$r$ e $l$ são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera	$4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!$	$r$ e $d$ são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide	$B+\frac{P L}{2}\,\!$	$B$ é a área da base, $P$ o perímetro da base e $L$ a distância do vértice aos cantos da base.

Ver também

• Unidades de área