Área

O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área $\frac{9}{4}\pi$ e o triângulo tem área $\frac{9}{2}$.

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Ver também: Medida de Jordan

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

• Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
• Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
• Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
• Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
• Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área. (Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.)

Unidades

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

• 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados
• 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados
• 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados
• 1 jarda quadrada = 9 metros quadrados
• 1 milha = 3.097.600 jardas quadradas = 27.878.400 pés quadrados

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área.

• 1 are = 100 metros quadrados

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muido usado para medir terrenos e propriedades:

• 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo

• 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

$A = l \times w$  (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

$A = l^2 \,\!$  (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezóide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezóide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.

$A = b \times h$  (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

$A=\frac{b \times h}{2}$  (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezóide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

$A = \frac{B + b}{2} \times h$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)

Área do losango:

$A = \frac{D \times d}{2}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)

Área de qualquer polígono regular:

$\frac{P \times a}{2}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)

Dividindo o círculo em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio r é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é r e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, πr. Resulta que a área do círculo é $r \times \pi r$, ou seja, πr²:

$A = \pi \times r^2$  (área do círculo; r = raio)

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez mais pequeno à medida que usamos setores cada vez mais pequenos. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente πr², que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

$A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.$

Área de uma superfície

Ficheiro:Archimedes sphere e cylinder.svg

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio r é:

$A = 4 \pi r^2 \,\!$  (área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comummente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	$\frac{1}{4} \sqrt{3}s^2\,\!$	s é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!$	s é metade do perímetro, a, b e c é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	$\tfrac12 a b \sin(C)\,\!$	a e b são quaisquer dois lados, e C é o ângulo entre eles.
Triângulo	$\tfrac12bh \,\!$	b e h são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	$s^2\,\!$	s é o comprimendo de um dos lados do quadrado.
Retângulo	$lw \,\!$	l e w são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	$\tfrac12ab$	a e b são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo	$bh\,\!$	b é o comprimento da base e h é a altura medida na perpendicular.
Trapezóide	$\tfrac12(a+b)h \,\!$	a e b são os lados paralelos e h a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular	$\frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\!$	s é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular	$2(1+\sqrt{2})s^2\,\!$	s é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	$\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!$	l é o comprimento de um dos lados e n o número de lados.
Polígono regular	$\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!$	R é o raio do círculo circunscrevente, r o raio do círculo interior, e n é o número de lados.
Polígono regular	$\tfrac12a p \,\!$	a é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e p é o perímetro do polígono.
Círculo	$\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!$	r é o raio e d o diâmetro.
Setor circular	$\tfrac12 r^2 \theta \,\!$	r e θ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse	$\pi ab \,\!$	a e b são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro	$2\pi r (r + h)\,\!$	r e h são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	$2 \pi r h \,\!$	r e h são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone	$\pi r (r + l) \,\!$	r e l são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera	$4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!$	r e d são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide	$B+\frac{P L}{2}\,\!$	B é a área da base, P o perímetro da base e L a distância do vértice aos cantos da base.

Ver também

• Unidades de área