Árvore binária

Uma simples árvore binária de tamanho 9 e altura 3, com um nó raiz de valor 2. A árvore acima não está balanceada e nem ordenada.

Uma árvore binária é uma estrutura de dados caracterizada por:

• Ou não tem elemento algum (árvore vazia).
• Ou tem um elemento distinto, denominado raiz, com dois ponteiros para duas estruturas diferentes, denominadas sub-árvore esquerda e sub-árvore direita.

Perceba que a definição é recursiva e, devido a isso, muitas operações sobre árvores binárias utilizam recursão. É o tipo de árvore mais utilizado na computação. A principal utilização de árvores binárias são as árvores de busca binária.

Definições para árvores binárias

Os nós de uma árvore binária possuem graus zero, um ou dois. Um nó de grau zero é denominado folha.

Em uma árvore binária, por definição, cada nó poderá ter até duas folhas, sendo que ela se compara com a abb (árvore binária de busca), apesar de não ter a propriedade da mesma ("na abb, existe uma regra na inserção").

A profundidade de um nó é a distância deste nó até a raiz. Um conjunto de nós com a mesma profundidade é denominado nível da árvore. A maior profundidade de um nó, é a altura da árvore.

Uma árvore "estritamente binária" é uma árvore na qual todo nó tem zero ou duas folhas. [1]

Existem autores, porém, que adotam essa definição para o termo quase completa, e utilizam o termo completa apenas para árvores em que todos os níveis têm o máximo número de elementos.

Definições em teoria dos grafos

Em teoria dos grafos, uma árvore binária é definida como um grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que 2. Assim sendo, só existe um caminho entre dois nós distintos.

E cada ramo da árvore é um vértice dirigido, sem peso, que parte do pai e vai o filho.

Inserção

O algoritmo da inserção em árvores binárias são facilmente implementadas através de função recursiva.

Algoritmo da inserção em C:

 void inserir(struct No **pRaiz, int numero){
     if(*pRaiz == NULL){
* pRaiz = (struct No *) malloc(sizeof(struct No));
         (*pRaiz)→pEsquerda = NULL;
         (*pRaiz)→pDireita = NULL;
         (*pRaiz)→numero = numero;
     }else{
         if(numero <(*pRaiz)→numero)  
              inserir(&(*pRaiz)→pEsquerda, numero));
         else  
              inserir(&(*pRaiz)→pDireita, numero));
     }
 }

Algoritmo da inserção em Java:

public No Inserir(No novo, No anterior){
      if (anterior != null){
         if (novo.ObtemValor() < anterior.ObtemValor())
             //Como o novo nó tem valor menor do que o do nó anterior, desce para a esquerda do nó anterior.
             anterior.filho_Esq = this.Inserir(novo, anterior.filho_Esq);
         else {
             if(novo.ObtemValor() > anterior.ObtemValor())
                //Como o novo nó tem valor maior do que o do nó anterior, desce para a direita do nó anterior.
                anterior.filho_Dir = this.Inserir(filho, anterior.filho_Dir);
             else
                //Caso seja um nó já existente, sai do método.
                return null;
         }
      } else {
           //Insere o novo nó como folha.
           anterior = novo;
      }
      return anterior;
  }

Algoritmo da inserção em C#:

public class Node
{
    public Node(int value)
    {
        Value = value;
    }
 
    public decimal Value { get; set; }
    public Node Esq { get; set; }
    public Node Dir { get; set; }
}
 
class Tree : BinarySearch
{
    private Node root;
 
    public Tree(int value)
    {
        root = new Node(value);
    }
 
    public void Add(int value)
    {
        Add(null, value);
    }
 
    protected virtual void Add(Node node, int value)
    {
        if (node == null)
            node = root;
 
        if (value < node.Value)
        {
            if (node.Esq == null)
                node.Esq = new Node(value);
            else
                Add(node.Esq, value);
        }
        else
        {
            if (node.Dir == null)
                node.Dir = new Node(value);
            else
                Add(node.Dir, value);
        }
    }
}

Percursos em árvore

Existem três tipos de percursos: Percurso em ordem simétrica(em-ordem), pré-ordem e pós-ordem.

Ordem Simétrica

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void emOrdem(struct No *pNo) {
     if(pNo != NULL) {
         emOrdem(pNo→pEsquerda);
         visita(pNo);
         emOrdem(pNo→pDireita);
     }
 }

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

 public void emOrdem(ArvoreNo no) {
     if(no != null) {
         emOrdem(no.getNoE());
         System.out.print(no.getInfo()+" ");
         emOrdem(no.getNoD());
     }
 }

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 4 e 9. Veja a linha de execução:

• emOrdem(2→esq)
  • emOrdem(7→esq)
    • emOrdem(2→esq)
    • visita(2)
    • emOrdem(2→dir)
  • visita(7)
  • emOrdem(7→dir)
    • emOrdem(6→esq)
      • emOrdem(5→esq)
      • visita(5)
      • emOrdem(5→dir)
    • visita(6)
    • emOrdem(6→dir)
      • emOrdem(11→esq)
      • visita(11)
      • emOrdem(11→dir)
• visita(2)
• emOrdem(2→dir)
  • emOrdem(5→esq)
  • visita(5)
  • emOrdem(5→dir)
    • emOrdem(9→esq)
      • emOrdem(4→esq)
      • visita(4)
      • emOrdem(4→dir)
    • visita(9)
    • emOrdem(9→dir)

Pré-Ordem

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void preOrdem(Struct No *pNo){
     if(pNo != NULL){
         visita(pNo);
         preOrdem(pNo→pEsquerda);
         preOrdem(pNo→pDireita);
     }
 }

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

 public void preOrdem(ArvoreNo no) {
     if(no != null){
         System.out.print(no.getInfo()+" ");
         preOrdem(no.getNoE());
         preOrdem(no.getNoD());
     }
 }

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9 e 4. Veja a linha de execução:

• visita(2)
• preOrdem(2→esq)
  • visita(7)
  • preOrdem(7→esq)
    • visita(2)
    • preOrdem(2→esq)
    • preOrdem(2→dir)
  • preOrdem(7→dir)
    • visita(6)
    • preOrdem(6→esq)
      • visita(5)
      • preOrdem(5→esq)
      • preOrdem(5→dir)
    • preOrdem(6→dir)
      • visita(11)
      • preOrdem(11→esq)
      • preOrdem(11→dir)
• preOrdem(2→dir)
  • visita(5)
  • preOrdem(5→esq)
  • preOrdem(5→dir)
    • visita(9)
    • preOrdem(9→esq)
      • visita(4)
      • preOrdem(4→esq)
      • preOrdem(4→dir)
    • preOrdem(9→dir)

Pós-Ordem

O algoritmo recursivo desse percurso em C é:

 void posOrdem(Struct No *pNo){
     if(pNo != NULL){
         posOrdem(pNo→pEsquerda);
         posOrdem(pNo→pDireita);
         visita(pNo);
     }
 }

O algoritmo recursivo desse percurso em Java é:

 public void posOrdem(ArvoreNo no) {
     if(no != null){
         posOrdem(no.getNoE());
         posOrdem(no.getNoD());
         System.out.print(no.getInfo()+" ");
     }
 }

Para a árvore acima, o percurso seria: 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5 e 2. Veja a linha de execução:

• posOrdem(2→esq)
  • posOrdem(7→esq)
    • posOrdem(2→esq)
    • posOrdem(2→dir)
    • visita(2)
  • posOrdem(7→dir)
    • posOrdem(6→esq)
      • posOrdem(5→esq)
      • posOrdem(5→dir)
      • visita(5)
    • posOrdem(6→dir)
      • posOrdem(11→esq)
      • posOrdem(11→dir)
      • visita(11)
    • visita(6)
  • visita(7)
• posOrdem(2→dir)
  • posOrdem(5→esq)
  • posOrdem(5→dir)
    • posOrdem(9→esq)
      • posOrdem(4→esq)
      • posOrdem(4→dir)
      • visita(4)
    • posOrdem(9→dir)
    • visita(9)
  • visita(5)
• visita(2)

Em Java

 public int Contagem(No n){
     if(n==null)
         return 0;
     else 
         return 1+Contagem(n.getFilhoEsquerda())+Contagem(n.getFilhoDireita);
 }

Soma Elementos

 public int SomaElementos(No raiz){
    if (raiz != null){
  soma=this.SomaElementos(raiz.p_Esq)+this.SomaElementos(raiz.p_Dir)+raiz.ObtemValor();
    return soma;
    }else
        return 0;
 }

Maior Elemento

 public int MaiorElemento(No raiz){
   if (raiz != null){
      if (maior < raiz.ObtemValor())
          maior = raiz.ObtemValor();
      this.MaiorElemento(raiz.p_Esq);
      this.MaiorElemento(raiz.p_Dir);
      return maior;
    }else
         return 0;
  }

Menor Elemento

 public int MenorElemento(No raiz){
   if (raiz != null){
      if (menor > raiz.ObtemValor())
          menor = raiz.ObtemValor();
      this.MenorElemento(raiz.p_Esq);
      this.MenorElemento(raiz.p_Dir);
      return menor;
    }else
        return 0;
  }

Transformação de uma árvore n-ária

Uma árvore n-ária qualquer (árvore cujos nós possuem graus menores ou iguais a n) podem ser representados por uma árvore binária. Um exemplo dessa transformação pode ser vista em [2]

Métodos para representação de árvores binárias

Uma das maneiras mais simples de representar árvores binárias em linguagens de programação é por meio de arranjos unidimensionais (vetores). Caso a raiz esteja na posição zero, dado um nó de índice i qualquer, os seus filhos terão índices $2i+1$ e $2i + 2$ e o seu pai terá índice piso((i - 1)/2). Caso a raiz esteja na posição um, os filhos terão índices $2i$ e $2i+1$ e o pai terá índice piso(i/2). Essa implementação é utilizada para representar árvores completas ou quase completas. Heaps, que são árvores binárias quase completas são implementadas na forma de um vetor de uma maneira bastante eficiente.

Apesar da simplicidade, essa representação requer uma grande quantidade de memória contígua para o armazenamento de árvores grandes, o crescimento desta é díficil de implementar e manter e pode haver grande quantidade de desperdício de memória.

Uma pequena árvore binária com raiz na posição 0, representada como um vetor.

Em uma linguagem que possua suporte a estruturas e referências (por exemplo pascal e C), as árvores podem ser implementadas a partir de nós, com um, ou mais, campos para a(s) informação(ões) principal(is) e dois campos apontadores especiais, denominados esquerda e direita, que fazem referência às sub-árvores esquerda e direita, respectivamente. Algumas vezes, há um apontador para o pai. Em um nó do tipo folha, os campos apontadores possuem valores especiais (nil em Pascal e "NULL" em C).

Ver também

• Árvore AVL
• Árvore B
• Árvore B+
• Árvore de busca binária
• Árvore binária com costura

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