Ângulo oposto pelo vértice

Neste desenho $\alpha$ e $\beta$ são ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos que são formados pelas mesmas retas mas não são adjacentes, ou em outras palavras são ângulos em que um é formado pelas semi-retas opostas às semi-retas que formam o outro. Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPV) quando os lados de um sao semi-retas opostas ao lado do outro.

Teorema sobre os ângulos opostos pelo vértice

• Dois ângulos opostos pela vértice são iguais (congruentes).

Demonstração (atribuída a Tales de Mileto^{[carece de fontes]}): Sendo $\alpha$ e $\beta$ dois ângulos opostos pelo vértice e $\gamma$ um ângulo adjacente e suplementar aos dois tem-se:

$\left . \begin{matrix} \alpha + \gamma= 180^\circ \\ \beta + \gamma = 180^\circ \end{matrix} \right \} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma} \Leftrightarrow \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}$