Índice de Theil

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O Índice de Theil é uma medida estatística da distribuição de renda. O índice de Theil é dado pelo logaritmo neperiano da razão entre as médias aritméticas e geométricas da renda familiar per capita média. Se a razão entre as médias for igual a 1, Theil será igual a zero, indicando perfeita distribuição [1] . Quanto maior a razão entre as médias, maior será o valor para o índice de Theil, e pior será a distribuição de renda [2]

O índice de Theil é dado pela seguinte formula: Theil = 1 - exp(-R). Este valor esta entre 0 e 1 e quanto maior este valor, pior a distribuicão. O Índice de Theil, calculado por Theil em 1967 [3] , é baseado no conceito de entropia de uma distribuição. Entre suas qualidades enumeram-se que é simétrico (tem a propriedade de invariância em caso de permuta de indivíduos), é invariante à replicação (é independente de replicações de população), independente da média (tem a propriedade de ser invariante em caso de alteração da escala da renda), e satisfaz o Princípio de Pigou-Dalton (a desigualdade cresce como resultado de transferências regressivas).[4]

Matemática[editar | editar código-fonte]

A fórmula [5] é


T_T=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{\overline{x}} \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)
 T_L=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left( \ln{\frac{\overline{x}}{x_i}} \right)

onde x_i é a renda da i nésima pessoa, \overline{x}= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i é a renda média, e N i é a quantidade de pessoas. O primeiro termo dentro da soma pode ser considerada a fatia do indivíduo na renda agregada, e o segundo termo indica a renda desta pessoa em relação à média. Se todos os indivíduos tiverem a mesma renda ( por exemplo, na média), o índice é 0. Se uma pessoa tem toda a renda, o índice é ln N.

O índice de Theil é derivado da medida de entropia de uma distribuição de Claude Shannon. Se é o T é o Índice de Theil, e S é a medida de entropia de uma distribuição de Claude Shannon [6]

 T=\ln(N)-S. \,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • THEIL, H. (1967). Economics and information theory. North-Holland: Amsterdam.
  • [2] ROGERS, F. H.. The Measurement and Decomposition of Achievement Equity. Unpublished doctoral dissertation. Columbus, Ohio: Ohio State University.
  • DALTON, H. The measurement of the inequality of incomes, Economic Journal, 30 (1920), pp. 348–461.
  • PIGOU, Arthur Cecil. Wealth and Welfare, 1912.
  • SEN, A.K. (1973), On Economic Inequality, Oxford University Press, London.

Referências

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