Multiplicação

3 x 4 = 12 = 4 x 3, ie as doze esferas vermelhas podem ser organizadas em em três linhas e quatro colunas (ou quatro colunas e três linhas).

Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.

$x \cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

$3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12,\!\,$

Há controvérsias entre os educadores, sobre que número deveria normalmente ser considerado como o número de termos e qual o valor de cada termo.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

• Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.

• Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado.(Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.

• Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).

• Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "Elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 1 = z.(obs:o 0 é o da soma.)

• Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.

• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

• Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números.Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de PRODUTO. Na geometria , está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} +x -x$

$= x + \begin{matrix} \underbrace{(y-1)+(y-1)+\cdots+(y-1)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= x + x + \begin{matrix} \underbrace{(y-2)+(y-2)+\cdots+(y-2)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{n}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{(y-n)+(y-n)+\cdots+(y-n)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{y}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= y\cdot x$

Distributividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot (y+z) = \begin{matrix} \underbrace{(y+z)+(y+z)+\cdots+(y+z)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{z+z+z+\cdots+z}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= x\cdot y + x\cdot z$

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

$5\times 2$

$5\cdot2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2\$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois em um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando escrevendo-se matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

$5x$ e $xy$.

O potencial de confusão que isto cria é grande já que não podemos ter variáveis com mais de um letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$. Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100$.

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego. Isto é definido como:

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.$

O subscrito é uma variável muda ($i$ no nosso caso), o limite inferior é ($m$) e o limite superior é $n$.

Assim por exemplo:

$\prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.$

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.$

Podemos de forma semelhante substituir $m$ por infinito negativo, e

$\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),$

para algum inteiro $m$, desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:

• $\frac{n}{0}$
• $\pm\frac{\infty}{\infty}$
• $0\cdot\infty$