0,999...

0.xxx…	= x⁄9
0.999…	= 9⁄9
0.999	= 1

x	= 0.999…
10x	= 9.999…
10x − x	= 9.999… − 0.999…
9x	= 9
x	= 1

0.333…	= 1⁄3
3 × 0.333…	= 3 × 1⁄3
0.999…	= 1

Esta perspectiva estilizada da dízima 0,999...
(em notação inglesa, tem-se ponto decimal: 0.999...),
expressa muito bem a ideia de infinitude dos 9s...

0,999..., número decimal representado como dízima periódica simples, também escrito como 0,9, $\scriptstyle \mathbf {0} ,\mathbf {\dot {9}}$ ou 0,(9), equivale ao número real "1". Logo, os numerais (ou símbolos matemáticos) "0,999..." e "1" representam o mesmo número (a mesma ideia matemática). Provas variadas dessa igualdade, com diferentes graus de rigor matemático, têm sido formuladas, considerando-se, entre outros pontos essenciais, o desenvolvimento (e a apresentação) preferencial dos números reais, os pressupostos básicos, o contexto histórico e, também, o público-alvo. Assim, essa relação de identidade passou a ser acolhida e considerada pelos matemáticos e, em consequência, tem sido transmitida aos aprendizes, na dinâmica didático-pedagógica da matemática.

Preliminares

Nas últimas décadas, os pesquisadores de educação matemática têm estudado a receptividade dessas relações de igualdade entre os estudantes. Com efeito, muitas dúvidas e, mesmo, francas rejeições à validade dessa identidade apresentaram-se. Embora muitos sejam convencidos sumariamente apenas pela autoridade emanada dos livros didáticos, dos professores de matemática, ou, até mesmo, dos raciocínios aritméticos como abaixo expostos, no sentido de aceitar, em princípio, que esses dois números são indubitavelmente iguais, todavia, essa questão tem natureza matemática mais rica e requer exame mais profundo. O raciocínio dos estudantes, seja para aceitar ou para rejeitar essa identidade, usualmente baseia-se na sua intuição imediata e primária sobre os números reais. Como exemplos: (1) cada número real tem uma única representação; (2) números reais não-nulos infinitesimais devem existir; ou ainda (3) a expansão de 0,999... , eventualmente, termina. Contudo, as intuições falham no domínio do conjunto dos números reais, embora sistemas numéricos alternativos possam ser construídos sobre ele. Ademais, várias outras representações que são também "imagem de 1" são de considerável interesse na análise matemática podem ser estabelecidas em moldes semelhantes.

A não singularidade das tais expansões não é exclusiva dos sistemas decimais. De fa(c)to, esse fenômeno ocorre também noutras bases inteiras que não 10, e, assim, os matemáticos têm estabelecido as formas de escrever 1 em bases não-inteiras. Tampouco esse fenômeno é exclusivo do número um (1): todo número não-nulo com uma notação decimal finita (ou, equivalentemente, infinitos dígitos "0" à direita) tem uma contrapartida com infinitos "9" à direita. Por exemplo 0,24999... é igual a 0,25, exatamente como no caso especial considerado. Esses são os números racionais e constituem um conjunto numérico denso ^[2].

Por razões de óbvia simplicidade apenas, a representação decimal terminativa é quase sempre a preferida, contribuindo ainda mais para o equívoco de que seja necessariamente a única representação válida. Doutro lado, em certas aplicações, dá-se precisamente o contrário: a representação decimal não-terminada mostra-se mais conveniente para a compreensão da expansão decimal de certas frações, e, na base três, por exemplo, para o correto entendimento do conjunto ternário de Cantor, fractal simples. Essa forma não-única de representação tem também utilidade na demonstração clássica da "incontabilidade da plenitude dos números reais". De modo geral, qualquer sistema posicional de representação para os números reais contém em si infinitos números com múltiplas representações.

Provas algébricas

0,999... é um número escrito no sistema numeral decimal, e há várias provas suficientes de que 0,999... = 1 invocadas na propriedade de conveniência aritmética deste sistema. A propriedade da aritmética decimal — adição, subtração, multiplicação, divisão, e comparação — usa manipulações nos dígitos que são muito idênticos aos inteiros. Tal como acontece com inteiros, duas casas decimais finitas com diferentes números significam números diferentes (ignorando os zeros). Em particular, qualquer número da forma 0,99...9, onde o 9 eventualmente para, é estritamente inferior a 1.

Essas são muitas provas que 0,999... = 1. Depois de demonstrados usando métodos algébricos, considerando que dois números reais são idênticos e somente a diferença deles é igual a zero. Alguns valores deram positivo, a diferença entre 1 e 0,999... é o mesmo que o valor (no qual pode ser formada demonstrando o uso de um intervalo fechado definido pela sequência acima e no triângulo escaleno. Assim, a diferença é de 0 e os números são idênticos. Isso explica também 0.333… = ¹⁄₃, 0.111… = ¹⁄₉, etc..

Demonstração formal

$1/9=0,111...$ $2/9=0,222...$ $3/9=0,333...$ $4/9=0,444...$ $5/9=0,555...$ $6/9=0,666...$ $7/9=0,777...$ $8/9=0,888...$ $9/9=0,999...$ Seja $q$ um número real qualquer e considere-se a soma

S_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}

multiplicando a soma pelo número $q$ obtemos

q\,S_{n}=q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots +q^{n}+q^{n+1}

assim,

1+q\,S_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots +q^{n}+q^{n+1}=S_{n}+q^{n+1}

de modo que

1+q\,S_{n}=S_{n}+q^{n+1}

Subtraindo $1+S_{n}$ em ambos os lados da equação, obtém-se

q\,S_{n}-S_{n}=q^{n+1}-1

Se $q$ é distinto de um, então

S_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\,

Definição de 0,999...

Pode-se escrever

$0,999\cdots =0,9+0,09+0,009+\cdots$ ]

Também se pode considerá-lo a subtração de um número infinitamente pequeno do número um:

0,999... = 1 - 10^-∞

como uma série geométrica (de primeiro término a = 0,9 e razão q = 1/10):

0,999\ldots =\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {0,9}{10^{k}}}={\frac {9}{10}}\,\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}\,

Limite da série

A primeira prova formal da identidade 0,999... ≡ 1 foi apresentada por Leonhard Euler em 1770, ao provar que 10 ≡ 9,999..., com o mesmo valor.^[3]

Pelo acima exposto,

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}={\frac {1-1/10^{n+1}}{1-1/10}}={\frac {1-1/10^{n+1}}{9/10}}={\frac {10}{9}}\,(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})

Ao tomar o limite, tem-se

\lim _{n\to \infty }{\frac {10}{9}}\,(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})={\frac {10}{9}}\,\lim _{n\to \infty }(1-{\frac {1}{10^{n+1}}})={\frac {10}{9}}\cdot 1

Assim, finalmente,

0,999\cdots ={\frac {9}{10}}\,\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{10^{k}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1

como se queria demonstrar.

Multiplicação de 1/3

Dizemos que 1/3 = 0,333…
Multiplicam-se por 3 ambos os membros: 3 × (1/3) = 3 × 0,333…, que deveria dar 0,999…
Vê-se que 0,999… deve ser fortemente 1, pois, que (1 / 3) × 3 = 1.

Com x = 0,999...

Suponha-se que x = 0,999… [1]
Multiplicam-se por 10 os dois números: 10x = 9,999… [2]
Subtraem-se as duas expressões nos dois membros: 10 x - x = 9,999… - 0,999… [2] – [1]
Obtém-se assim: 9x = 9, é dito, x = 1, como se queria demonstrar.

Com indução simples

Se $x$ é um número inteiro entre 0 e 9, pode-se considerar a seguinte fórmula

$0.xxx\ldots ={\frac {x}{9}}$

Toma-se o valor numérico de "x" como "9"
Chega-se à conclusão de que:

$0.999\ldots ={\frac {9}{9}}$

Número real entre 0,999... e 1

Seja a seguinte proposição lógica matemática: Se dois números reais são diferentes, então existe pelo menos um terceiro entre os dois, diferente de estes. Este terceiro número pode ser, por exemplo (mas não necessariamente, nem univocamente), a média aritmética dos dois. Considerando que não é possível intercalar algum número real entre 0,999... e 1, logo, eles devem ou precisam ser iguais.

Progressão geométrica

Considere-se a progressão geométrica de termo inicial 0,9 e razão 0,1. Assim, tem-se:

$a_{1}=0,9$

$a_{2}=0,09$

$a_{3}=0,009$

E as somas parciais:

$S_{1}=0,9$

$S_{2}=0,99$

$S_{3}=0,999$

Portanto, imagina-se (corretamente) que 0,999... (com reticências) seja igual à soma infinita desta progressão geométrica. Assim, tem-se:

$0,999\ldots ={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {0,9}{1-0,1}}={\frac {0,9}{0,9}}$

ou seja:

$0,999\ldots =1$

Generalização

A prova de que $0,9999\ldots$ em base 10 é exatamente 1 pode ser generalizada para qualquer base não necessariamente 10.

Em base $n+1$ o número $0,nnnnnnn\ldots$ é exatamente 1.

Pode-se verificar que $\sum _{k=1}^{m}a^{k}={\frac {a^{m+1}-a}{a-1}}$

Então:

{\begin{array}{rcl}0.nnn\ldots &=&n\left(n+1\right)^{-1}+n\left(n+1\right)^{-2}+n\left(n+1\right)^{-3}+\cdots \\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}n\left(m+1\right)^{-k}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }n\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{m+1}}\right)^{k}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }n{\frac {\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{m+1}-\left({\frac {1}{n+1}}\right)}{\left({\frac {1}{n+1}}\right)-1}}\\&=&\lim _{m\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{\left(n+1\right)^{m}}}\\&=&1\end{array}}

É decidir que no binário $0,111\ldots =1$ , no octal $0,777\ldots =1$ , e no sistema decimal $0,999\ldots =1$ , etc.

Conceitos equivocados

O número 0,999... tende a 1

Um conceito equivocado é o de que 0,9999... pode não ser exatamente um, mas como está muitíssimo perto, esse número tenderia a um. Sempre existiria uma pequena fração que seja da unidade, independente de quantos termos tomarmos para que seja exatamente 1. Um número, no entanto, não pode tender a outro, este conceito não existe nos reais.^[^{carece de fontes?]}

Provas geométricas

De modo similar ao raciocínio baseado em argumentos algébrico-analíticos, várias provas geométricas têm sido sugeridas para a identidade 0,999... = 1. Uma delas é exibida na imagem a seguir:

Ver também

Referências

Notas

↑ John Hewlett and Francis Horner, English translators., ed. (1822) [1770]. Elements of Algebra 3rd English ed. [S.l.]: Orme Longman. ISBN 0387960147 Texto " EULER, Leonhard " ignorado (ajuda) ISBN 0-38796-014-7
↑ Petkovšek p. 408
↑ EULER, Leonhard. Op cit..

Bibliografia

SERRÃO, Alberto Nunes. Análise Algébrica. 2. ed.. Rio de Janeiro: Globo, 1945.

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre 0,999...

[1] John Hewlett and Francis Horner, English translators., ed. (1822) [1770]. Elements of Algebra 3rd English ed. [S.l.]: Orme Longman. ISBN 0387960147 Texto " EULER, Leonhard " ignorado (ajuda) ISBN 0-38796-014-7

[2] Petkovšek p. 408

[3] EULER, Leonhard. Op cit..

[1]

[2]

[3]