Dimensão (matemática)

Na matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.

Exemplos

• A dimensão de $\R^n$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\R^n$ é descrito por $n\,$ números reais.
• A dimensão real de $\mathbb{C}^n$ é $2n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb{C}^n$ é descrito por $2n\,$ números reais.
• A dimensão complexa de $\mathbb{C}^n$ é $n\,$, isto é, cada ponto de $\mathbb{C}^n$ é descrito por $n\,$ números complexos.
• A dimensão de um espaço vectorial é o número de vectores de qualquer base desse espaço.

Contexto

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais $\mathbb{R}\,$, os espaço dos números complexos $\mathbb{C}\,$ tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais $\mathbb{Q}\,$, a sua dimensão é $2^{\aleph_0}\,$ (a potência do contínuo).

Analogamente, $\mathbb{Q}[i,\sqrt{3}]\,$ é um espaço de dimensão 2 sobre $\mathbb{Q}[\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}]\,$, mas é um espaço de dimensão 4 sobre $\mathbb{Q}\,$

Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão $\aleph_0\,$, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é $2^{\aleph_0}\,$.