Acarretamento

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Em lógica, o acarretamento (ou implicação lógica ou consequência semântica) é uma relação entre sentenças de uma linguagem formal de tal forma que se \boldsymbol{\Gamma} é um conjunto de sentenças e se \boldsymbol{\alpha} é uma sentença, então podemos concluir que a sentença \boldsymbol{\alpha} é verdadeira desde que todas as sentenças em \boldsymbol{\Gamma} o sejam.

Em símbolos,

\boldsymbol{\Gamma} \vDash \boldsymbol{\alpha}

significa que o conjunto de sentenças de \boldsymbol{\Gamma} acarreta, ou tem como consequência semântica, a sentença \boldsymbol{\alpha}. Note que o acarretamento é uma relação semântica.

Tome como exemplo as seguintes sentenças:

(a) Dexter é americano.
(b) Dexter é um assassino.
(c) Dexter é um assassino americano.

Se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras, nós sabemos que (c) é verdadeira. Podemos dizer que:

(a) , (b) \vDash (c)

(a) e (b) acarretam (c) porque a situação descrita por (c) segue da situação descrita por (a) e (b) juntas.

De uma forma mais técnica, podemos dizer que \boldsymbol{\Gamma} acarreta \boldsymbol{\alpha} se para toda atribuição de valores verdade P tal que \mathcal{V}_P(\beta) = 1 para toda proposição \beta \in \boldsymbol{\Gamma}, então \mathcal{V}_P(\alpha) = 1.

Exemplo 1

\alpha, \alpha \to \beta \vDash \beta

De fato, \mathcal{V}_P(\alpha \to \beta) = 0 se , e somente se, \mathcal{V}_P(\alpha) = 1 e \mathcal{V}_P(\beta) = 0. Portanto, se \mathcal{V}_P(\alpha \to \beta) = 1 e \mathcal{V}_P(\alpha) = 1, então necessariamente \mathcal{V}_P(\beta) = 1. Assim, dizemos que o conjunto de sentenças { \alpha, \alpha \to \beta } acarreta a sentença \boldsymbol\beta.

Exemplo 2

Tome  A = \{\forall x \exists y : x = y\} e  B = \{\exists x : x = x\} . Então A não acarreta B, uma vez que um domínio vazio é um modelo de A mas não é um modelo de B. Ou seja, não é o caso que todos os modelos de A são modelos de B.

Relação entre acarretamento e dedução[editar | editar código-fonte]

Idealmente, acarretamento e dedução são extensionalmente equivalentes. Contudo, isso não é sempre o caso.

Um sistema dedutivo S é completo para a linguagem L se e somente se A \models_L X implica A \vdash_S X: isto é, se todos os argumentos válidos são dedutíveis (ou prováveis) onde \vdash_S denota a relação de deducibilidade para o sistema S.

Um sistema dedutivo S é correto para uma linguagem L se e somente se A \vdash_S X implica A \models_L X: isto é, se argumentos não-inválidos são prováveis.

Relação com condição lógica[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, acarretamento corresponde à condição lógica (denotado por \supset) da seguinte forma: na lógica clássica, A \vDash B se e somente se existem alguns subconjuntos finitos \{A_1,\dots,A_n\} de A e \{B_1,\dots,B_m\} de B onde \varnothing\models A_1\land\dots\land A_n\supset B_1\lor\dots\lor B_m.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2007), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.