Adição

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Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples, adição combina dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma ou total. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de 0, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida, ver abaixo.

Para uma definição da adição no âmbito dos números naturais, ver adição em N.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades importantes[editar | editar código-fonte]

  • Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação. Assim, se 2 + 3 = 5, logo 3 + 2 = 5.
  • Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, logo 2 + (3 + 1) = 6.
  • Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se 2 + 3 = 5, logo 2 + 3 + 0 = 5.
  • Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.
  • Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Exemplo:
  • 2 + (-2) = 0
  • (-999) + 999 = 0

Todas estas propriedades estão relacionadas às propriedades genéricas de uma operação binária.

Notação[editar | editar código-fonte]

Símbolo matemático da soma.

Se os termos, ou somandos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

 \sum_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} + x_{m+1} + x_{m+2} + \dots + x_{n-1} + x_{n}.

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

 \sum_{k=1}^{5} k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2.

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

 \sum_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \sum_{i=m}^{n} x_{i}.

Podemos substituir de forma similiar m por infinito negativo, e

\sum_{i=-\infty}^\infty x_i := \lim_{n\to\infty}\sum_{i=-n}^m x_i + \lim_{n\to\infty}\sum_{i=m+1}^n x_i,

para algum m, desde que ambos os limites existam.

Relações com outras operações e constantes[editar | editar código-fonte]

É possível somar menos que 2 números

  • Se você somar o termo único x, então a soma é x.
  • Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

Somas úteis[editar | editar código-fonte]

As identidades a seguir são bastante úteis:

 \sum_{i=1}^{n} i = \frac {n(n+1)}{2}
 (ver séries aritméticas);
 \sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2;
 \sum_{i=0}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
 \sum_{i=0}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2};
 \sum_{i=N_1}^{N_2} x^{i} = \frac{x^{N_2+1}-x^{N_1}}{x-1} (ver séries geométricas);
 \sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} (caso especial do anterior em que {N_1}=0)
 \sum_{i=0}^{\infty} kx^{i} = \frac{k}{1-x}; |x|<1 (caso especial do anterior, \lim_{n\to\infty});
 \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}
 (ver coeficiente binomial);
 \sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}.

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

\sum_{i=0}^n i^m = \frac{(n+1)^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}{m\choose k}(n+1)^{m-k+1},

onde B_k é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

 \sum_{i=1}^{n} i^{c} = \Theta(n^{c+1})  para toda constante real c maior que -1;
 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \Theta(\log{n})
 \sum_{i=1}^{n} c^{i} = \Theta(c^{n})\,   para toda constante real c maior que 1;
 \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} =\Theta(n \cdot \log(n)^{c})   para toda constante real c maior ou igual a zero;
 \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} =\Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})   para todas constantes reais não-negativas c e d;
 \sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} \cdot b^{i} =\Theta (n^{d} \cdot \log(n)^{c} \cdot b^{n})   para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais[editar | editar código-fonte]

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:

 \int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.

Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música[editar | editar código-fonte]

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"
ré♯ mi fá♯ sol sol♯
dó♯ si lá♯ sol♯
Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, \{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}, é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna \{0,6,5,1,\dots\}, em que todas as díades somam 6.

Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11
sol ré♯ lá♯ mi♯
si mi sol♯ dó♯ fá♯
Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


  • Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Addition».