Adição

 Nota: Se procura dependência de substâncias químicas, veja Drogadição.

Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples, adição combina dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma ou total. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão a adição de 0, um ou um número infinito de números pode ser definida, veja abaixo.

Para uma definição da adição no âmbito dos números artificiais

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades importantes

• Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação. Assim, se 2 + 3 = 5, logo 3 + 2 = 5.
• Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, logo 2 + (3 + 1) = 6.
• Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se 2 + 3 = 5, logo 2 + 3 + 0 = 5.
• Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.
• Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Exemplo:
• 2 + (-2) = 0
• (-999) + 999 = 0

Todas estas propriedades estão relacionadas às propriedades genéricas de uma operação binária.

Notação

Símbolo matemático da soma.

Se os termos, ou somandos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega maiúscula Sigma. O nosso exemplo acima, para a soma de números de 1 a 100, ficaria assim:

$\sum_{i=1}^{100} i = 1 + 2 + ... + 99 + 100$

O subscrito i é uma variável que vai de 1 até 100, i representa o índice da soma; 1 é o limite inferior da soma e 100 é o limite superior da soma.

Podemos usar variáveis também para o limite inferior e limite superior, por exemplo:

$\sum_{x=n}^{m} x^{2}.$

Podemos também considerar somas infinitas, e a notação $\sum$ oferece uma forma elegante para isto; Estas somas são chamadas de Séries infinitas.

Para simbolizarmos um soma com infinitos termos trocamos os limites inferior e/ou superior pelo símbolo de infinito (∞).

Matematicamente a soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

$\sum_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \sum_{i=m}^{n} x_{i}.$

Podemos substituir de forma similiar m por infinito negativo, e

$\sum_{i=-\infty}^\infty x_i := \lim_{n\to\infty}\sum_{i=-n}^m x_i + \lim_{n\to\infty}\sum_{i=m+1}^n x_i,$

para algum m, desde que o limite exista.

Relações com outras operações e constantes

É possível somar menos que 2 números

• Se você somar o termo único x, então a soma é x.
• Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento identidade da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um Número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, para que tenhamos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo e subtração, a operação inversa da adição.

Somas úteis

As identidades a seguir são bastante úteis:

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac {n(n+1)}{2}$

(veja Séries aritméticas);

$\sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2;$

$\sum_{i=0}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6};$

$\sum_{i=0}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2};$

$\sum_{i=N_1}^{N_2} x^{i} = \frac{x^{N_2+1}-x^{N_1}}{x-1}$ (veja Séries geométricas);

$\sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ (caso especial do anterior onde ${N_1}=0$)

$\sum_{i=0}^{\infty} kx^{i} = \frac{k}{1-x}; |x|<1$ (caso especial do anterior, $\lim_{n\to\infty}$);

$\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}$

(veja Coeficiente binomial);

$\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}.$

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

$\sum_{i=0}^n i^m = \frac{(n+1)^{m+1}}{m+1} + \sum_{k=1}^m\frac{B_k}{m-k+1}{m\choose k}(n+1)^{m-k+1},$

onde $B_k$ é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

$\sum_{i=1}^{n} i^{c} = \Theta(n^{c+1})$

para toda constante real c maior que -1;

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \Theta(\log{n})$

$\sum_{i=1}^{n} c^{i} = \Theta(c^{n})\,$

para toda constante real c maior que 1;

$\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} =\Theta(n \cdot \log(n)^{c})$

para toda constante real c maior ou igual a zero;

$\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} =\Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})$

para todas constantes reais não-negativas c e d;

$\sum_{i=1}^{n} \log(i)^{c} \cdot i^{d} \cdot b^{i} =\Theta (n^{d} \cdot \log(n)^{c} \cdot b^{n})$

para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais válida para qualquer função crescente f:

$\int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.$

Para aproximações mais gerais, veja a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-ré, ré-fá♯, mi♭-sol, são formas diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"

ré

ré♯

mi

fá

fá♯

sol

sol♯

ré

dó♯

dó

si

lá♯

lá

sol♯

Ver também

• Aritmética modular
• Soma de Gauss

Ligações externas

• Addition
• Este artigo foi inicialmente traduzido do artigo da Wikipédia em inglês, cujo título é «Addition».