Adição de matrizes

Em matemática a adição de matrizes é uma operação que produz a soma de duas matrizes. Duas operações distintas são definidas como a soma de matrizes: a soma termo a termo e a soma direta.

Definição

Soma termo a termo

A adição usual de duas matrizes é definida quando elas possuem as mesmas dimensões: a soma de duas matrizes A e B de ordem $m \times n$, denotada por A + B, é também uma matriz m por n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes das matrizes A e B. Se o termo situado na interseção da linha i com a coluna j da matriz M for denotado por M_ij, então a soma das matrizes A e B pode ser definida pela fórmula

$(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$, para cada i de 1 a m e cada j de 1 a n.

Soma direta

Outra operação, que é usada com menos frequência, é a soma direta (denotada por ⊕). A soma direta de qualquer par de matrizes A de ordem m × n e B de ordem p × q é uma matriz de ordem (m + p) × (n + q) definida como

$A \oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ A_{m 1} & \cdots & A_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & B_{11} & \cdots & B_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & B_{p1} & \cdots & B_{pq} \end{bmatrix}$

A soma direta de matrizes é um tipo especial de matriz por blocos, em particular a soma direta de matrizes quadradas é uma matriz diagonal por blocos.

A matriz de adjacência da união de dois grafos ou multigrafos disjuntos é a soma direta de suas matrizes de adjacência. Qualquer elemento da soma direta de dois espaços vetoriais de matrizes pode ser representado como uma soma direta de duas matrizes.

Em geral, a soma direta de n matrizes é:

$\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= \begin{bmatrix} \begin{matrix} A_1 & \\ & A_2 \end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix} \ddots & \\ & A_n \end{matrix} \end{bmatrix}.$

Exemplos

Soma termo a termo

Considere as matrizes

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.

Sua soma é obtida da seguinte maneira:

$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 \\ 1+7 & 0+5 \\ 1+2 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$.

Soma direta

A soma direta das matrizes $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ é:

$A \oplus B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \oplus \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.