Adição de matrizes

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Em matemática a adição de matrizes é uma operação que produz a soma de duas matrizes. Duas operações distintas são definidas como a soma de matrizes: a soma termo a termo e a soma direta.

Definição[editar | editar código-fonte]

Soma termo a termo[editar | editar código-fonte]

A adição usual de duas matrizes é definida quando elas possuem as mesmas dimensões: a soma de duas matrizes A e B de ordem m \times n, denotada por A + B, é também uma matriz m por n, cujos termos são a soma dos termos correspondentes das matrizes A e B. Se o termo situado na interseção da linha i com a coluna j da matriz M for denotado por Mij, então a soma das matrizes A e B pode ser definida pela fórmula[1]

(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}, para cada i de 1 a m e cada j de 1 a n.

Soma direta[editar | editar código-fonte]

Outra operação, que é usada com menos frequência, é a soma direta (denotada por ⊕). A soma direta de qualquer par de matrizes A de ordem m × n e B de ordem p × q é uma matriz de ordem (m + p) × (n + q) definida como


  A \oplus B =
  \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     A_{11} & \cdots & A_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    A_{m 1} & \cdots & A_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & B_{11} & \cdots &  B_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & B_{p1} & \cdots &  B_{pq}
  \end{bmatrix}

A soma direta de matrizes é um tipo especial de matriz por blocos, em particular a soma direta de matrizes quadradas é uma matriz diagonal por blocos.

A matriz de adjacência da união de dois grafos ou multigrafos disjuntos é a soma direta de suas matrizes de adjacência. Qualquer elemento da soma direta de dois espaços vetoriais de matrizes pode ser representado como uma soma direta de duas matrizes.

Em geral, a soma direta de n matrizes é:


\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n) =
\begin{bmatrix}
      \begin{matrix} A_1  & \\ & A_2 \end{matrix} & 0 \\
      0 & \begin{matrix} \ddots  & \\ & A_n \end{matrix}
\end{bmatrix}.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Soma termo a termo[editar | editar código-fonte]

Considere as matrizes

A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
e B =
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
.

Sua soma é obtida da seguinte maneira:

A + B =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}
.

Soma direta[editar | editar código-fonte]

A soma direta das matrizes A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
e B =
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
é:

A \oplus B =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}
.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Callioli 1990, p. 18

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Atual, 1990. ISBN 9788570562975
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