Anel (matemática)

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Nota: Se procura outro significado de Anel, consulte Anel.

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A com um elemento 0 e duas operações binárias + e . que satisfazem as seguintes condições:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

Em particular, temos que (A, + ) é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento a ∈ A, cuja existência é garantida pela terceira condição, é único; costuma ser representado por − a. Além disso, se a,b ∈ A, costuma-se representar a + ( − b) por a − b.

Índice 1 Exemplos 2 Casos particulares 3 Divisores de zero 4 Ideais 5 Ver também

[editar] Exemplos

• O conjunto dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números reais e o conjunto dos números complexos.
• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma xⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} +  ··· a₁x + a₀, com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
• O menor anel é formado somente por 0.
• Seja (G, + ) um grupo abeliano e seja End(G) o conjunto dos endomorfismos de G. Se, dados f,g ∈ End(G), se definir a adição de f + g ∈ End(G) de f com g por (f + g)(x) = f(x) + g(x), então End(G) é um anel relativamente às operações adição e composição.

[editar] Casos particulares

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.

• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.

• Um anel de divisão é um anel (A, + ,.) em que (A \ {0},.) é um grupo.

[editar] Divisores de zero

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam A um anel e a um elemento de A diferente de 0. Diz-se que a é um divisor de zero se existir algum b ∈ A \ {0} tal que a.b = 0 ou que b.a = 0.

Exemplos:

• O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
• Seja n um número natural maior do que 1 e seja Z com a adição e o produto assim definidos: se a,b ∈ Z_n, então a + b é o resto da divisão por n da soma dos números inteiros a e b e a.b é o resto da divisão por n do produto dos números inteiros a e b. Então Z_n tem divisores de zero quando e só quando n for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que a.b = n então, em Z_n, a.b = 0.

[editar] Ideais

Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Diz-se que I é um ideal à esquerda de A se

1. 
2. 
3. 

Diz-se que I é um ideal à direita de A se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

Diz-se que I é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso A seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se m ∈ Z\{±1}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de m é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
• Seja A o conjunto das funções f de R² em R² da forma

f(x,y) = (a.x + b.y,c.x + d.y),

onde a,b,c,d ∈ R. Então, se 0 for a função nula, se + for a adição de funções e se . for a composição, então A é um anel (não comutativo). Se

,

então I é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se A for um anel e I for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em A a relação de equivalência ∼ assim definida:

a ∼ b se e só se a − b ∈ I.

Se a ∈ A, seja a + I a sua classe de equivalência; seja A / I o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,

(A / I, + ) é novamente um grupo abeliano. Além disso, se I for um ideal à esquerda e se a ∈ A, então faz sentido definir a função

Analogamente, se I for um ideal à direita e se a ∈ A, então faz sentido definir a função

Caso I seja um ideal bilateral, A / I volta a ser um anel se se definir

(a + I).(b + I) = a.b + I

[editar] Ver também

• Teoria dos anéis
• Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.
• Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.