Anel artiniano

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Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.

Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra.

O Teorema de Artin–Wedderburn caracteriza todos os anéis simples artinianos como anéis matriciais sobre um anel com divisão. Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita.

Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à condição de cadeia ascendente, em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um módulo artiniano não precisa ser um módulo noetheriano.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Um domínio de integridade artiniano é um corpo.
  • Um anel com uma quantidade finita de ideais, digamos à esquerda, é artiniano à esquerda. Em particular, um anel finito (tal como \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}) é artiniano à esquerda e à direita.
  • Seja k um corpo. Então k[t]/(t^n) é artiniano para todo inteiro positivo Artinian n.
  • Se I é um ideal não nulo de um domínio de Dedekind A, então A/I é um anel artiniano principal.[1]
  • Para cada n \ge 1, o anel completo de matrizes M_n(R) sobre um anel artiniano à esquerda (respectivamente noetheriano à esquerda) R é artiniano à esqueda (respectivamente noetheriano à esquerda).[2]

O anel dos inteiros \mathbb{Z} é um anel noetheriano que não é artiniano.

Módulos sobre anéis artinianos[editar | editar código-fonte]

Seja M um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes:[3]

  1. M é finitamente gerado
  2. M tem comprimento finito
  3. M é noetheriano
  4. M é artiniano.

Anéis comutativos artinianos[editar | editar código-fonte]

Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes.

  • A é artiniano.
  • A é um produto finito de aneis locais artinianos comutativos.[4]
  • A / nil(A) é um anel semisimples, onde nil(A) é o nilradical de A[carece de fontes?].[5]
  • Todo módulo finitamente gerado sobre A tem comprimento finito. (ver acima)
  • A tem dimensão zero.[6] (Em particular, o nilradical é o radical de Jacobson pois os ideias primos são maximais.)
  • \operatorname{Spec}A é finito e discreto.
  • \operatorname{Spec}A é discreto.[7]

Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo.

Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Teorema 459 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
  2. Cohn 2003, 5.2 Exercício 11
  3. Bourbaki, VIII, pg 7
  4. Atiyah & Macdonald 1969 , Teoremas 8.7
  5. Esboço: Em aneis comutativos, nil(A) está contido no radical de Jacobson de A. Como A/nil(A) é semisimples, nil(A) é na verdade igual ao radical de Jacobson de A. Pelo teorema de Levitzky, nil(A) é um ideal nilpotente. Estes dois últimos fatos mostram que A é um anel semiprimário, e pelo teorema de Hopkins–Levitzki A é artiniano.
  6. Atiyah & Macdonald 1969 , Teoremas 8.5
  7. Atiyah & Macdonald 1969 , Capítulo 8, Exercício 2.

Referências[editar | editar código-fonte]