Anel com identidade

Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Definições Alternativas

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da Unidade

Proposição:Se um anel $\mathcal{A}$ possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja $1,1' \in \mathcal{A}$ identidades distintas, ou seja, $\forall x \in \mathcal{A}$ temos $1 \cdot x = x$ e $1' \cdot x = x$. Segue que $1 \cdot 1' = 1'$ mas $1'$ também é unidade, então $1 \cdot 1' = 1$ portanto $1 = 1'$

Unidades Versus Anel com Unidade

Dentro de um anel $\mathcal{A}$ podemos definir o conjunto $U(\mathcal{A})= \{a \in \mathcal{A} | \exists b \in \mathcal{A}, a \cdot b = 1 \} \subseteq \mathcal{A}$, em palavras, $U(\mathcal{A})$ denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de $\mathcal{A}$ e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação $1_{\mathcal{A}}$ e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

Exemplos

• O anel dos números inteiros tem unidade;
• Todo domínio de integridade é um anel com unidade;
• O anel das matrizes $n x n$ possui unidade;