Anel de Kummer

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Em álgebra abstrata, em anel de Kummer \mathbb{Z}[\zeta] é um subanel do anel dos números complexos, tal que cada um de seus elementos tem a forma

 n_0 + n_1 \zeta + n_2 \zeta^2 + ... + n_{m-1} \zeta^{m-1}\ ,

onde ζ é uma m-ésima raiz da unidade, i.é.

 \zeta = e^{2 \pi i / m} \

e n0 a nm-1 são números inteiros.

Um anel de Kummer é uma extensão de \mathbb{Z}, o anel de inteiros, por isto o símbolo \mathbb{Z}[\zeta]. Como o polinômio mínimo de ζ é o m-ésimo polinômio ciclotômico, o anel \mathbb{Z}[\zeta] é uma extensão de grau \phi(m) (onde φ denota a função totiente de Euler).

Uma tentativa de visualizar um anel de Kummer no plano complexo pode produzir algo parecido com mapa renascentista, com rosas dos ventos e loxodromias.

O conjunto das unidades de um anel de Kummer contém  \{1, \zeta, \zeta^2, \ldots ,\zeta^{m-1}\} . Pelo teorema da unidade de Dirichlet, também existem unidades de ordem infinita, exceto nos casos m=1, m=2 (neste caso temos o anel ordinários dos inteiros), o caso m=4 (os inteiros de Gauss) e os casos m=3, m=6 (os inteiros de Eisenstein).

Os anéis de Kummer são nomeados em memória de Ernst Kummer, que estudou a fatorização única de seus elementos.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Allan Clark Elements of Abstract Algebra (1984 Courier Dover) p. 149

Ver também[editar | editar código-fonte]