Anel (matemática)

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 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.
Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.[1]

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto com um elemento e duas operações binárias e que satisfazem as seguintes condições:

  1. Associatividade de
  2. Existência de elemento neutro (0) de
  3. Existência de simétrico de
  4. Comutatividade de
  5. Associatividade de
  6. Distributividade de em relação a (à esquerda e à direita):

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de

Em particular, temos que é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por Além disso, se costuma-se representar por

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números reais, o conjunto dos números complexos e os quatérnios.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma  ···  com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por
  • Seja um grupo abeliano e seja End() o conjunto dos endomorfismos de Se, dados  ∈ End(), se definir a adição de  ∈ End() de com por então End() é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Divisores de zero[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam um anel e um elemento de diferente de Diz-se que é um divisor de zero se existir algum  ∈  \  tal que ou que

Exemplos:

  • O anel dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja um número natural maior do que e seja com a adição e o produto assim definidos: se  ∈  então é o resto da divisão por da soma dos números inteiros e e é o resto da divisão por do produto dos números inteiros e Então tem divisores de zero quando e só quando for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que então, em

Ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam um anel e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um ideal à esquerda de se

Diz-se que é um ideal à direita de se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

Diz-se que é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se  ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja o conjunto das funções de R² em R² da forma

onde  ∈ R. Então, se for a função nula, se for a adição de funções e se for a composição, então é um anel (não comutativo). Se

então é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se for um anel e for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em a relação de equivalência ∼ assim definida:

 ∼  se e só se  ∈ 

Se  ∈  seja a sua classe de equivalência; seja o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

é novamente um grupo abeliano. Além disso, se for um ideal à esquerda e se  ∈  então faz sentido definir a função

Analogamente, se for um ideal à direita e se  ∈  então faz sentido definir a função

Caso seja um ideal bilateral, volta a ser um anel se se definir

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Fagundes, Pedro L. «Elementos de Álgebra - Aula 02 - Anéis». Youtube/Univesp. 4 de maio de 2018. Consultado em 13 de julho de 2018 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6 
  • Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
  • Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2 
  • Dresden, G. "Small Rings." [1]
  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
  • Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
  • Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
  • Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
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  • Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
  • Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag .
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press 
  • McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
  • Pinter-Lucke, James (2007), «Commutativity conditions for rings: 1950–2005», Expositiones Mathematicae, ISSN 0723-0869, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001 
  • Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
  • Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995