Anel de polinômios

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O anel de polinômios com coefientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como \mathbb{R}[x]\,, dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn.

De forma genérica, para definir-se o anel dos polinômios precisa-se:

  • um anel A dos coeficientes
  • um conjunto S das indeterminadas

As indeterminadas aqui tem um significado puramente abstrato, não sendo exigido que S tenha nenhuma estrutura. Assim, é conveniente que S seja um conjunto de símbolos, e (para evitar ambiguidades) que seja disjunto de A.

Um polinômio com coeficientes em A e indeterminadas em S pode ser:

  • o polinômio nulo, denominado 0 (exceto quando haja necessidade de fazer alguma diferença entre este polinômio e o elemento neutro de A; neste caso, podem-se usar índices para marcar a diferença entre eles: 0A e 0A[S])
  • os monômios, que são representados pela justaposição de um elemento (não-nulo) de A seguido de um número finito de elementos de S (podendo ser nenhum) elevados a uma potência inteira positiva. Por exemplo, se 2 \in A\, e S = {x, y}, então 2, 2 x1 e 2 x² y³ são monômios. Aqui é importante notar que os produtos de potências de S comutam, por exemplo, 2 x² y³ = 2 y³ x². Quando a potência for um, representa-se o monômio sem este valor: 2 x² y1 = 2 x² y.
  • uma soma de dois ou mais monômios (mas sempre uma quantidade finita), em que a parte indeterminada de todas parcelas são diferentes. Novamente, esta soma é comutativa, de forma que duas somas que diferem por uma permutação das parcelas são iguais.

O anel de polinômios é este conjunto A[S] com duas operações de soma de polinômios e produto de polinômios, definidas de forma que:

  • o polinômio nulo é elemento neutro aditivo
  • A[S] é um anel
  • o produto de monômios se comporta como se as indeterminadas comutassem entre si, e que o produto de xn e xm seja xn + m

Existem várias formas equivalentes de criar modelos para A[S], por exemplo o conjunto A[S] de todos os objetos

\sum_{i=1}^{m}a_ix_1^{k_{i_1}}\cdots x_n^{k_{i_n}},[1]

onde a_1,\ldots, a_m\in A, x_1,\ldots, x_n\in S, cada n-tupla(k_{i1},\ldots, k_{in}) de números inteiros positivos é diferente para diferente valor de i, pode servir de modelo para o anel de polinômios com indeterminadas em S sobre A.

É importante notar que essa expressão é puramente formal, não significando nenhuma operação interna dos elementos de S. No caso particular em que m = 0, temos o polinômio nulo, também representado por 0. No caso particular m = 1, temos um monômio. No caso particular m = 1 e n = 0, temos um elemento de A sendo usado para representar um elemento de A[S].

Introdução[editar | editar código-fonte]

Os polinômios mais conhecidos são os que têm coeficientes inteiros. Por exemplo, tomando A como o anel \mathbb{Z} e ~S=\{x,y\}, um elemento de \mathbb{Z}[S] pode ser

~4x^3y-5xy^2+3y^3 [2]

Note-se que, se bem que o conjunto de indeterminadas S possa ser um conjunto infinito, cada polinômio contém um número finito de termos.

Se S=\{x_1,\ldots, x_n\}, então se pode escrever A[x_1,\ldots, x_n] no lugar de A[S]. Assim, A[x] é um anel de polinômios em uma só indeterminada x.

Pode notar-se facilmente que cada elemento de a\in A é refletido em A[S] como o monômio a.

É possível mostrar que A é um sub-anel de A[S] (mais precisamente, A é isomorfo a um sub-anel de A[S]).

Propriedades fundamentais[editar | editar código-fonte]

Fatos de interesse sobre anéis de polinômios têm que ver com as propriedades do mesmo a partir do anel no que têm seus coeficientes. Por exemplo, quando A é um domínio de integridade, A[S] também o é, e as unidades de A[S] são as mesmas que as de A. Pelo contrário A[S] nunca será um corpo, não importando que A o seja ou não, pois ainda que as unidades de A[S] sejam as mesmas que as de A, A é tão somente um sub-anel de A[S]. Entretanto, o anel A[S] é um domínio de integridade se A o é, logo, dado o caso, se pode construir o corpo de quocientes de A[S] (i.e. o corpo de frações de polinômios), que se nota comumente por A(S).

Os coeficientes dos polinômios de um anel A[S] podem tomar-se não somente como os elementos de A. Na prática podemos facer agrupamentos do tipo

~4x^2y^3-5xy^2+2zy=(4x^2)y^3-(5x)y^2+2zy

e estas também devem fazer-se em um anel de polinômios A[S]. Para ele se separam os elementos de S em dois conjuntos disjuntos, digamos R e T, logo o anel de polinômios A[R][T] tem coeficientes no anel de polinômios A[R] e indeterminadas em T\subset S.

Se A é um anel e R\subseteq S, claramente A[R] é um sub-anel de A[S].

Seja A um anel unitário. Todo polinômio não nulo de A[x] cujo coeficiente diretor seja uma unidade pode dividir euclidianamente a qualquer outro polinômio de A[x] e o grau do resto é estritamente menor que o grau do divisor. Ou seja, se D y d são polinômios de A[x] não nulos, como o coeficiente diretor de d uma unidade de A, então existem polinômios c e r de A[x] tais que

~D=dc+r|med=con|der=\mathrm{grad}\, r<\mathrm{grad}\, d

Assim, para que a divisão de polinômios seja sempre possível em um anel de polinômios A[x], A deve ser um corpo (i.e. todo elemento de A deve ser uma unidade), e se assim sucede A[x] será um domínio euclidiano. Um fato muito importante é que um anel de polinômios A[x] é um domínio de ideais principais (DIP) se e somente se A é um corpo. Posto que todos os domínios euclidianos são DIPs, temos que A[S] não é um domínio euclídiano se S contém mais de um elemento, pois A[S]=A[S\setminus\{x\}][x], e A[S\setminus\{x\}] nunca é um corpo e portanto tampouco um DIP.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Os monômios puros[editar | editar código-fonte]

A definição formal dos anéis de polinômios parte da definição dos monômios puros (sem coeficientes em um anel). Note-se que se S é um conjunto e, por exemplo, x,y,z\in S, um monômio a partir de S pode ser

~x^2yz^3 [3]

No monômio puro anterior, cada um dos elementos x,y,z\in S tem um expoente natural. Portanto, podemos considerar a cada monômio com indeterminadas em S como uma aplicação u:S\longrightarrow\mathbb{N} (aqui e no resto do artigo consideramos que \mathbb{N} inclui o zero). O monômio [3] seria entendido então como a aplicação u dada por u(x)=2, u(y)=1, u(z)=3 e onde u se anula para todos os demais elementos (se estes existem) de S. Observar que um monômio puro é o produto de um número finito de indeterminadas. Ainda que S seja infinito, podemos obter um monômio u fazendo que u(s) seja nulo para todas aquelas indeterminadas que não queremos que apareçam no monômio. Por exemplo, se S=\{x,y,z\}, o monômio

~x^4y^2 [4]

se corresponde com a aplicação u dada por u(x)=4, u(y)=2 e u(z)=0.

Em vista das considerações anteriores, a definição de um conjunto de monômios puros tem de ser a seguinte:

Definição

Seja S um conjunto. O conjunto dos monômios puros com indeterminadas em S, representado por M, é o conjunto de todas as aplicações u:S\longrightarrow\mathbb{N} tais que o conjunto \{s\in S\mid u(s)\neq 0\} é finito.

(1)

Se u,v\in M, se definem as aplicações ~u+v e ~ku, onde k\in\mathbb{N}, mediante

~(u+v)(s)=u(s)+v(s) e ku(s)=k\left(u(s)\right)

para todo s\in S.

Estas aplicações estão bem definidas, e claramente u+v\in M e ku\in M. Vemos pois que se u,v são aplicações de M, u+v se interpreta como o produto dos monômios puros representados por u e v, e se k é um número natural, ku se interpreta como a potência m-ésima do monômio puro representado por u.

Note-se que o monômio puro e de M que toma constantemente o valor 0 é tal que

u+e=e+u=u e ke=ek=e

para todo u\in M. Assim, este monômio se representa pelo mesmo símbolo 0.

Observe-se que o elemento x\in S se interpreta em M, claramente, como a aplicação ~ \epsilon_x que vale 1 em x e 0 em qualquer outro caso. Nestos termos qualquer monômio puro u de M pode escrever-se como

u=u(x_1)\epsilon_{x_1}+\cdots+u(x_n)\epsilon_{x_n} [5]

onde x_1,\ldots, x_n\in S são os elementos de S para os quais a aplicação u não se anula (por definição, estes elementos são sempre um número finito). Claramente, cada termo

u(x_i)\epsilon_{x_i} [6]

de [5] representa o fator x_{i}^{u(x_i)} no monômio puro representado por u. Ou seja, [5] se entende como o monômio puro

x_{1}^{u(x_1)}\cdots x_{n}^{u(x_n)} [7]

Polinômios com coeficientes em um anel[editar | editar código-fonte]

Para dar andamento à definição de um anel de polinômios, observemos que um polinômio, como [2], é uma soma finita de monômios puros (pre-)multiplicados por coeficientes em um anel (no caso de [2] os coeficientes são inteiros). Assim, por exemplo, é suficiente associar o polinômio [2] com uma aplicação p:M\longrightarrow\mathbb{Z}, onde S=\{x,y\}, tal que p toma o valor do coeficiente correspondente quando se valora em um monômio u\in M.

Em vista disto temos:

Sejam S um conjunto, A um anel e M o conjunto de monômios puros da definição [1]. O anel de polinômios com indeterminadas em S sobre A é o conjunto A[S] de todas as aplicações p:M\longrightarrow A tais que o conjunto \{u\in M\mid p(u)\neq 0\} é finito.

Podemos considerar agora os monômios com coeficientes no anel A como casos especiais de polinômios. Se A é unitário, então podemos considerar o polinômio p que vale 1 em u e 0 em qualquer outro caso como o próprio monômio puro u. Para ver-se que, na realidade, tanto S como A são, do ponto de vista algébrico, um subconjunto de A[S] e que efetivamente A[S] é um anel que contém A como um sub-anel, é necessário definir as operações de anel sobre A[S].

Operações sobre A[S][editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

A adição sobre A[S] claramente pode ser definida assim:

Sejam p,q polinômios de A[S]. Se define p+q como a aplicação dada por

~(p+q)(u)=p(u)+q(u) 8

para todo monômio puro u\in M. Fica claro que p+q\in A[S].

Esta definição se interpreta como a redução dos termos semelhantes (i.e. os coeficientes de um mesmo monômio u) de p e q. Quando multiplicamos polinômios, costumamos somar os termos semelhantes que surjam no produto para obter um polinômio o mais reduzido possível. Em vista disto, temos a definição da multiplicação em A[S]:

Sejam p,q polinômios de A[S]. Se define pq como a aplicação dada por

~pq(u)=\sum_{s+t=u}p(s)q(t) '[9]

para todo monômio puro u\in M. O membro direito de [9] é a soma de todos os produtos p(s)q(t) tais que s+t=u. A aplicação pq é claramente um polinômio de A[S].

Propriedades de anel[editar | editar código-fonte]

A respeito das operações de adição e multiplicação, segundo tem sido definidas, o conjunto A[S] cumpre com que:

A[S] é um anel Se A é um anel e S é um conjunto então A[S] é um anel.


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Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4
  • Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 196, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1757274, ISBN 978-0-387-98934-1

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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