Anel noetheriano

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Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

  • Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
  • Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
  • Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos[editar | editar código-fonte]

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

  • Todo ideal I é finitamente gerado, isto é, existem a_1,...,a_n em R tais que todo elemento de I pode ser escrito na forma r_1 a_1 + ...+r_n a_n, onde \{r_1,...,r_n\} \subset R.1
  • Todo subconjunto não-vazio de ideais de R possui ideal maximal com respeito à inclusão.1

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo R, se todo ideal primo for finitamente gerado, então R é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos[editar | editar código-fonte]

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécide de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O anel dos inteiros \mathbb{Z}.
  • Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
  • k[x], onde k é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não noetherianos:

  • Qualquer anel dos polinômios com um número finito de variáveis e com coeficientes em um corpo k.
  • O anel F das funções contínuas de \mathbb{R}. Definindo para cada inteiro positivo I_n=\{f \in F \mid f(k)=0, \forall k \in \{0,...,n\}\}, temos que a cadeia de ideais \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}} não é estacionária.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Lam, 2001, p. 19
  • Lang, Serge. Algebra. 3 ed. [S.l.]: Addison-Wesley Pub. Co., 1994. ISBN 9780201555400
  • Lam, T.Y.. A first course in noncommutative rings. 2 ed. New York: Springer, 2001. p. 19. ISBN 0387951830