Anel noetheriano

Em álgebra abstracta, um anel noetheriano é um anel comutativo que satisfaz a condição da cadeia ascendente para ideais. O termo noetheriano é uma homenagem à matemática alemã Emmy Noether.

Anéis de polinômios sobre corpos possuem muitas propriedades especiais; propriedades que derivam do fato de que anéis polinomiais não são em certo sentido "grandes demais". Emmy Noether descobriu que uma propriedade fundamental dos anéis de polinômios é a propriedade da cadeia ascendente para ideais.

Para anéis não-comutativos, devemos fazer algumas distinções entre conceitos similares:

• Um anel é dito noetheriano à esquerda caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à esquerda.
• Um anel é dito noetheriano à direita caso satisfaça a condição da cadeia ascendente para ideais à direita.
• Um anel é dito noetheriano caso seja noetheriano tanto à esquerda quanto à direita.

Para anéis comutativos as três definições coincidem.

Caracterização dos anéis noetherianos

Existem outras definições equivalentes para anel noetheriano:

• Todo ideal $I$ é finitamente gerado. Isto é, existem $a_1,...,a_n$ em $R$ tais que todo elemento de $I$ pode ser escrito na forma $r_1 a_1 + ...+r_n a_n$, onde $\{r_1,...,r_n\} \subset R$.
• Todo subconjunto não-vazio de ideais de $R$ possui ideal maximal com respeito à inclusão.

Resultados similares existem para anéis noetherianos à esquerda e à direita.

É sabido que para um anel comutativo $R$, se todo ideal primo for finitamente gerado, então $R$ é noetheriano.

Utilização dos anéis noetherianos

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é uma espécide de conceito de finitude na teoria dos anéis. Por exemplo, a propriedade noetheriana de que todo anel de polinômios com coeficientes em um dado corpo é noetheriano permite-nos provar que um sistema infinito de equações polinomiais pode ser substituído por um sistema finito de equações polinomiais com as mesmas soluções.

Como outra aplicação, mencionamos o teorema do ideal principal de Krull: todo ideal principal em um anel comutativo noetheriano tem altura um. Este foi o primeiro resultado a sugerir que os anéis noetherianos constituem uma profunda teoria da dimensão.

Exemplos

• O anel dos inteiros $\mathbb{Z}$.
• Qualquer corpo, pois um corpo possui apenas os ideais triviais.
• $k[x]$, onde $k$ é um corpo.

Temos também os seguintes exemplos de anéis que não noetherianos:

• Qualquer anel dos polinômios com um número finito de variáveis e com coeficientes em um corpo $k$.
• O anel $F$ das funções contínuas de $\mathbb{R}$. Definindo para cada inteiro positivo $I_n=\{f \in F \mid f(k)=0, \forall k \in \{0,...,n\}\}$, temos que a cadeia de ideais $\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ não é estacionária.

Propriedades

• Pelo teorema da base de Hilbert, $\mathbb{R}[x]$ é noetheriano.
• Dado um ideal $I$ num anel comutativo $R$, temos que $R/ I$ é noetheriano.
• Toda álgebra comutativa finitamente gerada sobre um corpo é um noetheriana.
• Todo anel artiniano à esquerda, (resp. à direita), é um anel noetheriano à esquerda, (resp. à esquerda), pelo teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki.
• Um anel $R$ é noetheriano à esquerda se, e somente se, todo $R$-módulo é um módulo noetheriano.