Anexo:Lista de momentos de inércia

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O momento de inércia de massa, chamado aqui de I, mede o grau em que um objecto resiste aceleração de rotação em torno de um eixo, e é o análogo à massa para rotação. Momentos de inércia têm unidades de dimensão: massa × length2. Ela não deve ser confundido com o momento de inércia utilizado no cálculo de flexão, que é uma unidade de área. Objectos geometricamente simples têm momentos de inércia que podem ser expressas em uma formula matemática com propriedades geométricas, mas isso pode não ser possível em objetos com geometria mais complexas.

Os momentos de inércia a seguir assumem densidade homogênea e o eixo de rotação passa pelo centro de massa, a menos que especificado de outra forma.

Momentos de Inércia[editar | editar código-fonte]

Descrição Figura Momento(s) de inércia Comentários
Massa pontual m a uma distância r dos eixos de rotação.  I = m r^2 Um ponto de massa não tem um momento de inércia em torno de seu próprio eixo, mas usando o teorema dos eixos paralelos um momento de inércia em torno de um eixo de rotação é distante alcançado.
Duas massas pontuais, M e m, com a massa reduzida  \mu e separadas por uma distância x.  I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2
Barra de comprimento L e massa m
(Eixo de rotação no fim da barra)
Moment of inertia rod end.svg I_{\mathrm{fim}} = \frac{m L^2}{3} \,\!  [1] Esta expressão assume que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígida). Este também é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação ao final da placa, com h = L e w = 0.
Barra de comprimento L e massa m Moment of inertia rod center.svg I_{\mathrm{centro}} = \frac{m L^2}{12} \,\!  [1] Esta expressão assume que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígida). Este é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação no centro do prato, com w = L e h = 0.
Aro circular de raio r e massa m Moment of inertia hoop.svg I_z = m r^2\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}\,\!
Este é um caso especial de um toro com b = 0 (ver abaixo) ou de um tubo cilíndrico de paredes espessas, com as extremidades abertas com r1 = r2 e h = 0.
Disco fino de raio r e massa m Moment of inertia disc.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!
I_x = I_y = \frac{m r^2}{4}\,\!
Este é um caso especial do cilíndro sólido com h = 0. Os momentos I_x = I_y = \frac{I_z}{2}\, são consequência do teorema dos eixos perpendiculares.
Casca cilíndrica fina com as extremidades abertas, de raio r e massa m Moment of inertia thin cylinder.png I = m r^2 \,\!  [1] Esta expressão assume a espessura da casca é insignificante. É um caso especial do tubo cilíndrico de paredes espessas para r1 = r2.

Além disso, um ponto de massa (m) na extremidade de uma barra de comprimento r tem neste mesmo momento de inércia e a quantidade r é chamado o raio de rotação.

Cilíndro sólido de raio r, altura h e massa m Moment of inertia solid cylinder.svg I_z = \frac{m r^2}{2}\,\!  [1]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(3r^2+h^2\right)
Este é um caso especial do tubo cilíndrico de paredes espessas, com r1 = 0. (Note: eixo X-Y deve ser trocado por uma referência que segue a regra da mão direita.)
Tubo cilíndrico de paredes espessas com extremidades abertas, raio interno r1, raio externo r2, comprimento h e massa m Moment of inertia thick cylinder h.svg I_z = \frac{1}{2} m\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)  [1] [2]
I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]
ou quando a espessura normal tn é definida = t/r e deixando r = r2,
então I_z = mr^2\left(1-t_n+\frac{1}{2}{t_n}^2\right)
Com a densidade ρ e a mesma geometria I_z = \frac{1}{2} \pi\rho h\left({r_2}^4 - {r_1}^4\right) I_x = I_y = \frac{1}{12} \pi\rho h\left(3({r_2}^4 - {r_1}^4)+h^2({r_2}^2 - {r_1}^2)\right)
Tetraedro de lado s e massa m Tetraaxial.gif I_{solid} = \frac{3m s^2}{7}\,\!

I_{hollow} = \frac{4m s^2}{7}\,\!

Octaedro (oco) de lado s e massa m Octahedral axis.gif I_z=I_x=I_y = \frac{5m s^2}{9}\,\!
Octaedro (sólido) de lado s e massa m Octahedral axis.gif I_z=I_x=I_y = \frac{m s^2}{6}\,\!
Esfera (oca) de raio r e massa m Moment of inertia hollow sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{3}\,\!  [1] Uma esfera oca pode ser definida por dois aros circulares infinitamente finos, em que o raio varia de 0 a r (ou por um único aro cujo raio varia de -r a r).
Bola (sólida) de raio r e massa m Moment of inertia solid sphere.svg I = \frac{2 m r^2}{5}\,\!  [1] Uma esfera oca pode ser definida por dois aros circulares infinitamente finos, em que o raio varia de 0 a r (ou por um único aro cujo raio varia de -r a r).

Ela também pode ser definida por esferas ocas, infinitamente finas, cujo raio varia de 0 a r.

Esfera (casca) de raio r2, com cavidade cocentrica de raio r1 e massa m Spherical shell moment of inertia.png I = \frac{2 m}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!  [1] Quando a cavidade central tiver raio r1 = 0, o objeto é uma bola sólida (ver acima).

Se r1 = r2, \left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]=\frac{5}{3}{r_2}^2 , o objeto é uma esfera oca.

Cone circular de raio r, altura h e massa m Moment of inertia cone.svg I_z = \frac{3}{10}mr^2 \,\!  [3]
I_x = I_y = \frac{3}{5}m\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!  [3]
Toro de um tubo de raio a, raio da seção transversal b e massa m. Torus cycles.png Sobre um eixo do plano diametral: \frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)m  [4]

Sobre o eixo vertical: \left(a^2 + \frac{3}{4}b^2\right)m  [4]

Elipsoide (sólido) de semieixos a, b e c com eixo de rotação em a e massa m Ellipsoid 321.png I_a = \frac{m (b^2+c^2)}{5}\,\!

I_b = \frac{m (a^2+c^2)}{5}\,\!

I_c = \frac{m (a^2+b^2)}{5}\,\!
Placa retangular fina de altura h, espessura w e massa m
(Eixo de rotação no fim da placa)
Recplaneoff.svg I_e = \frac {m h^2}{3}+\frac {m w^2}{12}\,\!
Placa retangular fina de altura h, espessura w e massa m Recplane.svg I_c = \frac {m(h^2 + w^2)}{12}\,\!  [1]
Cuboide sólido de altura h, espessura w, profundidade d e massa m Moment of inertia solid rectangular prism.png I_h = \frac{1}{12} m\left(w^2+d^2\right)
I_w = \frac{1}{12} m\left(h^2+d^2\right)
I_d = \frac{1}{12} m\left(h^2+w^2\right)
Para cubo com mesma orientação e lados de comprimento s, I_{CM} = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Cuboide sólido de altura D, espessura W, comprimento L e massa m com sua diagonal mais longa como eixo de rotação. Moment of Inertia Cuboid.svg I =  \frac{m\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)} Para um cubo de lados s, I = \frac{m s^2}{6}\,\!.
Polígono plano de vértices \vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}, \vec{P}_{3}, ..., \vec{P}_{N} e

massa m, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pela origem.

Polygon moment of inertia.png I=\frac{m}{6}\frac{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|((\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n+1})+(\vec{P}_{n+1}\cdot\vec{P}_{n})+(\vec{P}_{n}\cdot\vec{P}_{n}))}{\sum\limits_{n=1}^{N-1}\|\vec{P}_{n+1}\times\vec{P}_{n}\|} Esta expressão assume que o polígono tem forma de estrela. Os vetores \vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}, \vec{P}_{3}, ..., \vec{P}_{N} são vectores posição dos vértices.
Disco infinito de massa igualmente distribuida ao longo do plano perpendicular ao eixo de rotação

(i.e.  \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2} Onde:  \rho(x,y) é a função densidade de massa).

Gaussian 2D.png I = m (a^2+b^2) \,\!

Referências

  1. a b c d e f g h i Raymond A. Serway. Physics for Scientists and Engineers, second ed.. [S.l.]: Saunders College Publishing, 1986. p. 202. ISBN 0-03-004534-7
  2. Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Retrieved on 2008-01-31.
  3. a b Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr. Vector Mechanics for Engineers, fourth ed.. [S.l.]: McGraw-Hill, 1984. p. 911. ISBN 0-07-004389-2
  4. a b Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring. Wolfram Research. Página visitada em 2010-03-25.