Lista de teorias de primeira ordem

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Na lógica, uma teoria de primeira ordem é um conjunto de fórmulas que fazem sentido em uma linguagem de primeira ordem. Inúmeras teorias da matemática como a teoria dos anéis, a teoria dos grupos e as teorias dos conjuntos são teorias de primeira ordem.


Definições[editar | editar código-fonte]

Uma teoria de primeira ordem T tem como base uma linguagem de primeira ordem \mathcal{L}_T, tal que a teoria será um conjunto específico de fórmulas bem-formadas de \mathcal{L}_T, fórmulas essas chamadas de axiomas.

De acordo com a teoria dos modelos, cada objeto matemático é um modelo de uma assinatura Σ de linguagem \mathcal{L}_\Sigma. Dado um conjunto de modelos de uma mesma assinatura, uma teoria é um conjunto de axiomas não-lógicos que são satisfeitos por todos esses modelos.

Seja α uma fórmula, dizemos que α é um teorema de T, denotado por T ⊢ α sse α pode ser demonstrada a partir de T. Também é dito como α é consequência lógica de T. O conjunto de tódos os teoremas de T é chamado de Th(T).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma teoria T pode ser:

  • Axiomática, se há um procedimento recursivo que caracterize seus axiomas;
  • Finitamente axiomatizada, se tem um número finito de axiomas não-lógicos;
  • Axiomatizával, se há alguma teoria axiomática T* tal que Th(T*) = Th(T);
  • Fechada, se Th(T) = T. Ou seja, se T só tem a si própria como consequência;
  • Consistente, se não é o caso de existir uma fórmula φ em qualquer linguagem, tal que φ e ¬φ sejam ambos teoremas de T.
  • Completa, se para toda fórmula α de \mathcal{L}_\Sigma, ou α é um teorema de T ou ¬α o é;
  • Trivial, se toda fórmula α de \mathcal{L}_\Sigma é um teorema de T;
  • Decidível, se há um algoritmo que decida se uma fórmula α de \mathcal{L}_\Sigma é ou não é um teorema de T;
  • Satisfatível, se existe um modelo para todas as fórmulas da teoria. Pelo teorema de completude de Gödel, satisfatível é equivalente a consistente;
  • Categórica, se é consistente e todos os seus modelos são finitos e isomórficos.


Apesar de ter vários modelos, uma teoria T tem o que se chama de interpretação pretendida. Por exemplo, a aritmética de Peano nos naturais. Um modelo que seja isomórfico à interpretação pretendida é chamado de modelo padrão.


Grupos[editar | editar código-fonte]

Seja * uma operação definida em um conjunto G. Dizemos que o par (G, *) é um grupo se e somente se:

  • O conjunto G é fechado sobre a operação *, isto é
(\forall g, h \in G),\; (g * h) \in G
  • A operação * é associativa, ou seja, ∀g, h, kG, (g * h) * k = g * (h * k);
(\forall g, h, k \in G),\; (g * h) * k = g * (h * k)
  • Existe um elemento identidade eG para *, ou seja,
(\forall g \in G),\; (g * e) = (e * g) = g
  • Para todo elemento gG existe um único elemento inverso iG, isto é,
(\forall g \in G),\; (g * i) = (i * g) = e


Os grupos abelianos são um caso particular de grupos em que a operação * é comutativa em G, isto é,

(\forall g, h \in G),\; (g * h) = (h * g)

Por exemplo:

  • (Z, +): os inteiros com adição;


Outros tipos de grupos são:

  • Grupos Simétricos;
  • Grupos Alternadores;
  • Grupos Diedrais;
  • Grupos Cíclicos.


Grafos[editar | editar código-fonte]

Um grafo é um par G = (V,R), onde V é um conjunto finito e R é um conjunto de conjunto de pares ordenados (x,y) onde x e y são elementos de V, chamados de vértices do grafo. Os elementos de R são as arestas do grafo, e podem ser representados como R(x, y), interpretado como "há uma aresta de x até y".

Um grafo é definido pelos seguintes axiomas:

  • Simetria:
\forall x \forall y,\;  R(x,y) \to R(y,x)
  • Anti-reflexividade:
 \forall x, \; \neg R(x,x)

Alguns matemáticos usam a palavra "grafo" em um sentido diferente e admitem a possibilidade de um vértice ser adjacente a si mesmo; uma aresta que une um vértice a se mesmo é chamado de laço. Também se admite mais de uma aresta com as mesmas extremidades; tais arestas são chamadas de arestas paralelas.

Para se referir a primeira definição de Grafo com mais clareza, é usada a expressão grafo simples. Para se referir a um grafo que pode ter arestas e laços múltiplos, é empregada a palavra multigrafo.

Um passeio em um grafo que atravessa cada aresta uma única vez, é chamado de trilha eureliana. Se, além disso, a trilha começa e termina no mesmo vértice o passeio é chamado um tour eureliano. Finalmente, se um grafo tem um tour eureliano , dizemos que o grafo é um grafo eureliano;


Relações de Equivalência[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto e ≡ uma relação de equivalência sobre A. Para cada aA podemos construir o conjunto de todos os elementos xA que são equivalentes ao elemento a. Indicaremos tal conjunto por [a], isto é: [a] = {xA : xa}.

As relações de equivalência satisfazem os axiomas:

  • Reflexividade;
\forall x,\; [x \equiv x]
  • Simetria;
\forall x\forall y,\; [(x \equiv y) \to (y \equiv x)]
  • Transitividade;
\forall x\forall y\forall z,\; [((x \equiv y) \land (y \equiv z)) \to (x \equiv z)]

O conjunto [a] nunca é vazio, pois a propriedade reflexiva garante que a ∈ [a]. O conjunto [a] é denominado classe de equivalência, que também pode ser denotada por cl(a) ou \overline{a}.


Álgebras Booleanas[editar | editar código-fonte]

Seja B um conjunto com dois elementos distintos, 0 e 1, duas operações binárias, + e , uma operação unária ¬. Então, B é dito uma álgebra booleana se valem os seguintes axiomas, onde a, b e c são elementos quaisquer de B :

  • Comutatividade;
(a + b) = (b + a); \quad (a \cdot b) = (b \cdot a)
  • Distributividade;
a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c); \quad a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)
  • Identidade;
(a + 0) = a; \quad (a \cdot 1) = a
  • Complemento;
(a + \neg a) = 1; \quad (a \cdot \neg a) = 0

Os operadores da álgebra booleana podem ser representados de várias formas. É freqüente serem simplesmente escritos como E, OU e NÃO, porém são mais comuns os seus equivalentes em inglês: AND, OR e NOT.

Dualidade[editar | editar código-fonte]

A dual de qualquer declaração em uma álgebra booleana B é a declaração obtida pela troca das operações e + e de seus elementos identidade, 0 e 1, na declaração original.

Por exemplo, a expressão

(1 + a) \cdot (b + 0) = b

é dual de

(0 \cdot a) + (b \cdot 1) = b

Observe a simetria dos axiomas em uma álgebra booleana B. Isto é, o dual do conjunto dos axiomas de B é o próprio conjunto de axiomas. Conseqüentemente, vale o princípio da dualidade em B.

O Princípio da Dualidade afirma que o dual de qualquer teorema em uma álgebra booleana também é um teorema. Ou seja, se qualquer declaração é conseqüência dos axiomas em uma álgebra booleana, então a declaração dual também é uma conseqüência dos axiomas.

Ordem[editar | editar código-fonte]

Sejam A um conjunto e RA×A uma relação em A. Diz-se que R é uma relação de ordem parcial se:

  • R for reflexiva, onde aRa para todo aA. Ou seja, se todos os elementos se relacionarem com si próprios.
  • R for anti-simétrica, ou seja, R é tal que se aRb e bRa então a=b.
  • R for transitiva, onde aRb e bRc implicam que aRc.

Ex: As relações (N, ≤), (℘(A), ⊆), (R, =) são de ordem parcial.

Uma relação diz-se ordem total ou linear se for uma ordem parcial e for total, ou seja, para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou ambos).

Ex: A relação (N, ≤) é de ordem total.


Conjunto bem-ordenado[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é A dito bem-ordenado se todo subconjunto de A tem primeiro elemento.

Um exemplo clássico é o conjunto dos números naturais com a ordem usual ≤.

  • Um conjunto bem ordenado é linearmente ordenado. De fato, se a,bA, então {a,b} tem um primeiro elemento; logo, a e b são ordenáveis.
  • Todo subconjunto de um conjunto bem-ordenado é por si só bem-ordenado.
  • Se A é bem ordenado e B é isomorfo a A, então B é bem-ordenado.
  • Todos os conjuntos finitos linearmente ordenados com o mesmo número n de elemento são bem-ordenados, e todos são isomorfos entre si.
  • Todo elemento aA, que não é um último elemento, tem um sucessor imediato.

Anéis e corpos[editar | editar código-fonte]

A assinatura dos anéis tem duas constantes 0 e 1, duas funções binárias, + e ⋅, e, opcionalmente, uma função unária inversa -1.

Seja A um conjunto com as seguintes operações internas:

 (+) : (a,b) \to a + b e ( \cdot ) : (a, b) \to a \cdot b

(A, +, ⋅) é um anel se ∀a,b,c; ∈ A se valem as propriedades:

  • Associatividade:
 (a + b) + c = a + (b + c)
 (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
  • Comutatividade:
 (a + b) = (b + a)
  • Elemento neutro de +:
 \exists 0,\; (a + 0) = (0 + a) = a
  • Elemento inverso ou complemento de +:
 (\forall a \in A)(\exists (i) \in A), a + (i) = 0
  • Distributividade:
 a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + a (\cdot c)
 (b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)


Se a multiplicação, ⋅, dos anéis é comutativa, temos um anel comutativo, se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade.

Um corpo é um anel comutativo em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso da multiplicação. Um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero é chamado de corpo se:

 (\forall a \in A : a \neq 0) (\exists b \in A), a \cdot b = 1

Os corpos são importantes objetos de estudo na álgebra visto constituirem uma generalização útil de muitos sistemas numéricos, como os números racionais, os reais e os complexos.


Principais tipos de corpos:

  • Corpo finito: é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.
  • Corpo ordenado: é um corpo no qual existe uma relação de ordem total, e suas operações binárias são compatíveis com essa relação de ordem. Um corpo é ordenado se satisfaz as seguintes condições:
  • A soma e o produto de elementos positivos são positivos;
  • Dado aA, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou aA ou -aA.

Referências[editar | editar código-fonte]

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 8522102910.

LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc. Teorias e Problemas de Matemática Discreta, 2ª edição. São Paulo: Bookman, 2004. ISBN 0070380457.

Números reais(arquivo em pdf), por Gláucio Terra.

Modelos(arquivo em pdf), por Luiz Henrique de A. Dutra e Cezar A. Mortari.

Ver também[editar | editar código-fonte]