Aplicação equivariante

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Em matemática, uma aplicação invariante é uma função entre dois conjuntos que comuta com a ação de um grupo. Especificamente, seja G um grupo e sejam X e Y os G-conjuntos associados. Uma função f : XY é dita equivariante se

f(g·x) = g·f(x)

para todo gG e todo x em X. Note que se uma ou ambas as ações forem ações à direita a condição que define a equivariância deve ser modificada adequadamente:

f(x·g) = f(xg ; (direita-direita)
f(x·g) = g−1·f(x) ; (direita-esquerda)
f(g·x) = f(xg−1 ; (esquerda-esquerda)

Aplicações equivariantes são homomorfismos na categoria dos G-conjuntos (para um G fixado). Assim, elas também são conhecidas como G-aplicações ou G-homomorphismos. Os isomorfismos de G-conjuntos são simplesmente as aplicações equivariantes bijetoras.

A condição de equivariância também pode ser entendida como por meio do seguinte diagrama comutativo. Observe que g\cdot denota a aplicação que recebe um elemento z e retorna g\cdot z.

Equivariant commutative diagram.png