Aproximação WKB

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Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história[editar | editar código-fonte]

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.[1] [2]

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

 \epsilon \frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} + a(x)\frac{\mathrm{d}^{n-1}y}{\mathrm{d}x^{n-1}} + \cdots + k(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + m(x)y= 0

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

 y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right].

No limite \delta\rightarrow 0. A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos S_n(x) na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.[3] [4] [5]

Um exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

 \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y,

onde Q(x) \neq 0. Substituindo

y(x) = \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right]

resulta na equação

\epsilon^2\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'\right)^2 + \frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''\right] = Q(x).

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 + \frac{2\epsilon^2}{\delta}S_0'S_1' + \frac{\epsilon^2}{\delta}S_0'' = Q(x).

No limite \delta \rightarrow 0,o termo dominante é dado por

\frac{\epsilon^2}{\delta^2}S_0'^2 \sim Q(x).

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

\epsilon^0: \; \; \; S_0'^2 = Q(x),

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

S_0(x) = \pm \int_{x_0}^{x}\sqrt{Q(t)}\,dt.

Comparando as potências de primeira ordem de \epsilon, vem

\epsilon^1: \; \; \; 2S_0'S_1' + S_0'' = 0.

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

S_1(x) = -\frac{1}{4}\log\left(Q(x)\right) + k_1\,,

onde k_1 é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque S_0 pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

y(x) \approx c_1Q^{-\frac{1}{4}}(x)\exp\left[\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right] + c_2Q^{-\frac{1}{4}}(x)\exp\left[-\frac{1}{\epsilon}\int_{x_0}^x\sqrt{Q(t)}dt\right].

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

 2S_0'S_n' + S''_{n-1} + \sum_{j=1}^{n-1}S'_jS'_{n-j} = 0,

para n>2. Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica[editar | editar código-fonte]

A série assintótica para y(x) em geral é uma série divergente cujo termo geral \delta ^n S_n(x) começa a aumentar após um certo valor n=n_\max. Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

 \epsilon^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = Q(x) y,

com Q(x)<0 uma função analítica, o valor n_\max e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

n_\max \approx 2\epsilon^{-1} \left|  \int_{x_0}^{x_{\ast}} dz\sqrt{-Q(z)} \right| ,
\delta^{n_\max}S_{n_\max}(x_0) \approx \sqrt{\frac{2\pi}{n_\max}} \exp[-n_\max],

onde x_0 é o ponto em que y(x_0) precisa ser avaliado e x_{\ast} é o ponto de retorno (complexo) onde Q(x_{\ast})=0, mais próximo de x=x_0. O número n_\max pode ser interpretado como o número de oscilações entre x_0 e o ponto de retorno mais próximo. Se \epsilon^{-1}Q(x) é uma função que varia lentamente,

\epsilon\left| \frac{dQ}{dx} \right| \ll Q^2 ,

o número n_\max será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x),

que pode ser reescrita como

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x).

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

\Psi(x) = e^{\Phi(x)}, \!

de modo que

\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right),

onde \Phi' indica a derivada de \Phi em relação a x. A derivada \Phi'(x) pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

\Phi'(x) = A(x) + i B(x). \;

A amplitude da função de onda é então \exp\left[\int^x A(x')dx'\right]\,\!, enquanto que a fase é \int^x B(x')dx'\,\!. As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right),
B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em \hbar. A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de \hbar^{-1} para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n A_n(x),
B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{n=0}^\infty \hbar^n B_n(x).

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right),
A_0(x) B_0(x) = 0 \;.

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase ( A_0(x) = 0), segue que

B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) },

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

\Psi(x) \approx C_0 \frac{ e^{i \int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}.

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), (B_0(x) = 0 ) e então

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) },

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int \mathrm{d}x \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}.

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que E = V(x) e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos  E = V(x) ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico x_1 e perto de E=V(x_1), o termo \frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) pode ser expandido em uma série de potências.

\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots\;.

Para a primeira ordem, temos

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x).

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

\Psi(x) = C_A \textrm{Ai}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_1) \right) + C_B \textrm{Bi}\left( \sqrt[3]{U_1} (x - x_1) \right).

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre C_0,\theta and C_{+},C_{-} pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):


  \begin{align}
    C_{+} &= + \frac{1}{2} C_0 \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)},
    \\
    C_{-} &= - \frac{1}{2} C_0 \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}.
  \end{align}

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Adrian E. Gill. Atmosphere-ocean dynamics. [S.l.]: Academic Press, 1982. p. 297. ISBN 9780122835223
  2. Renato Spigler and Marco Vianello. In: Saber Elaydi, I. Győri, and G. E. Ladas. Advances in difference equations: proceedings of the Second International Conference on Difference Equations : Veszprém, Hungary, August 7–11, 1995. [S.l.]: CRC Press, 1998. p. 567. ISBN 9789056995218
  3. Filippi, Paul. Acoustics: basic physics, theory and methods. [S.l.]: Academic Press, 1999. p. 171. ISBN 9780122561900
  4. Multiple scale and singular perturbation methods. [S.l.]: Springer, 1996. ISBN 0-387-94202-5
  5. Bender, C.M.; Orszag, S.A.. In: C.M.. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. [S.l.]: Springer, 1999. 549–568 p. ISBN 0-387-98931-5

Referências atuais[editar | editar código-fonte]

Referências históricas[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Fitzpatrick, Richard (2002). The W.K.B. Approximation. (An application of the WKB approximation to the scattering of radio waves from the ionosphere.)