Aproximação linear

Linha tangente em (a, f(a))

Em matemática, uma aproximação linear é uma aproximação de uma função geral (mais precisamente, uma função afim). Elas são amplamente usadas no método de diferenças finitas para produzir métodos de primeira ordem para resolver-se ou obter soluções aproximadas para equações.

Definição

Dada uma função $f(x)$ continua, diferenciável e com uma variável real $x$, cujo valor é próximo de uma constante $a$, temos:

$f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)$

Para valores próximos de $a$, a curva descrita pela função $f(x)$ se aproxima de uma reta. Dessa forma, se uma reta for traçada tangente a essa curva, no ponto $a$, é possível calcular o valor aproximado de $f(x)$.

Exemplo

Calculemos o valor aproximado de $\sqrt[3]{25}$.

1. Seja $f(x)=x^{1/3}$, o problema se resume a encontrar o valor de $f(25)$.
2. Precisamos de um valor $a$ próximo de 25, e do qual saibamos o valor de $f(a)$, sabemos que $f(27)=3$ então usemos $a=27$
3. Derivando $f(x)$ e encontrando o valor de $f'(a)$:

   $f'(x)=\frac{x^{-2/3}}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ assim, $f'(27)=\frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{27}$

4. Usando a aproximação linear:

   $f(25) \approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27\approx 2,926$

5. O resultado é bem próximo do valor real de 2,924