Aproximação linear

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Linha tangente em (a, f(a))

Em matemática, uma aproximação linear é uma aproximação de uma função geral (mais precisamente, uma função afim). Elas são amplamente usadas no método de diferenças finitas para produzir métodos de primeira ordem para resolver-se ou obter soluções aproximadas para equações. Usadas em CÁLCULO I(familiarize com esse conceito).

Definição[editar | editar código-fonte]

Dada uma função f(x) continua, diferenciável e com uma variável real x, cujo valor é próximo de uma constante a, temos:[editar | editar código-fonte]

 f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)

Para valores próximos de a, a curva descrita pela função f(x) se aproxima de uma reta. Dessa forma, se uma reta for traçada tangente a essa curva, no ponto a, é possível calcular o valor aproximado de f(x).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Calculemos o valor aproximado de \sqrt[3]{25}.

  1. Seja f(x)=x^{1/3}, o problema se resume a encontrar o valor de f(25).
  2. Precisamos de um valor a próximo de 25, e do qual saibamos o valor de f(a), sabemos que f(27)=3 então usemos a=27
  3. Derivando f(x) e encontrando o valor de f'(a):
    f'(x)=\frac{x^{-2/3}}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} assim, f'(27)=\frac{1}{3\sqrt[3]{27^2}}=\frac{1}{27}
  4. Usando a aproximação linear:
     f(25) \approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27\approx 2,926
  5. O resultado é bem próximo do valor real de 2,924

Ver também[editar | editar código-fonte]