Argumento (matemática)

Um número complexo pode ser visualmente representado como um ponto localizado no plano complexo. O valor do ângulo $\varphi$ é o argumento do número complexo $z=~x~+~iy$.

Na matemática, argumento, abreviado como arg, de um número complexo z é o ângulo compreendido entre o eixo real positivo no plano complexo e a reta que une z com a origem deste plano.

Definição

O argumento é definido em dois caminhos equivalentes:

• Geometricamente, na relação do plano complexo, arg z é o ângulo φ no eixo dos reais positivos representado pelo vetor z. O valor numérico é dado pelo ângulo em radianos e é positivo se medido no sentido anti-horário.
• Algebricamente, um argumento de um número complexo z = x + iy é qualquer valor real $\phi$ tal que

$z=x+iy=r\cos \phi +ir\sin \phi \$

para algum real positivo r. A unidade r é o módulo de z, escrito como

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\ .$

Os termos amplitude ou fase são usados, às vezes, para representar essa igualdade.

Sob ambas as definições, pode ser observado que o argumento de qualquer número complexo diferente de zero tem muitos valores possíveis: primeiramente, como um ângulo geométrico, é evidente que todas as rotações do círculo não alteram o ponto, de modo que ângulos diferentes por um número inteiro múltiplo de 2π radianos (um círculo completo) são os mesmos. Da mesma forma, a partir da periodicidade do seno e cosseno, a segunda definição também tem essa propriedade.

Notação

A notação para o argumento não é universal. Todavia, é comum denotá-lo como $\operatorname {arg} (z)$.

Formas de cálculo

O argumento de um número complexo $z\,\!$ pode ser obtido de diversas maneiras, dentre as quais:

• Dado $z=a+bi\,\!$ (forma retangular), podemos obter $\operatorname {arg} (z)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$;
• dado $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }\,\!$ (forma polar e forma exponencial), temos $\operatorname {arg} (z)=\theta$.
• dado $z=a+bi\!$ e sabendo que ${cos\theta }={\frac {a}{|z|}}$ e ${sen\theta }={\frac {b}{|z|}}$, onde $|z|\!$ é distância entre $O\!$ e o ponto $Z\!$; buscamos os valores de sen e cos e assim acharemos na tabela trigonométrica qual ângulo possui esses valores para seno e cosseno.