Associatividade

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Associatividade, em matemática, é a propriedade que permite que expressões do tipo r s t possam ser escritas sem ambiguidade, ou seja, uma expressão r s t dá o mesmo resultado caso a operação que seja, em primeiro lugar, computada seja r s ou s t.[1]

A associatividade é uma das três propriedades que definem um grupo, as demais sendo a lei do cancelamento (ou seja, se r s = t s ou se s r = s t, então r = t), e a propriedade de que se na equação x y = z dois elementos são fixos, então existe um terceiro que a satisfaz.[1] [Nota 1]

É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:

  • 2 + (3+6) = (2+3) + 6

De uma forma mais abstrata a associatividade esta relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:

\forall x,y,z \in S\quad f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z)

Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S

Exemplos[editar | editar código-fonte]


   \left.
    \begin{matrix}
     (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad
    \\
     (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \,
    \end{matrix}
   \right\}
   \mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R}.

   \left.
    \begin{matrix}
     \operatorname{mdc}(\operatorname{mdc}(x,y),z)=
     \operatorname{mdc}(x,\operatorname{mdc}(y,z))=
     \operatorname{mdc}(x,y,z)\ \quad
    \\
     \operatorname{mmc}(\operatorname{mmc}(x,y),z)=
     \operatorname{mmc}(x,\operatorname{mmc}(y,z))=
     \operatorname{mmc}(x,y,z)\quad
    \end{matrix}
   \right\}\mbox{ para todo }x,y,z\in\mathbb{Z}.
  • O produto vetorial não é associativo: i x (i x j) = i x k = -j, mas (i x i) x j = 0.

Notas e referências

Notas

  1. Estas três propriedades, usadas por Miller em 1904, são equivalentes às propriedades usuais adotadas nos livros mais modernos: associatividade, elemento neutro e elemento inverso.

Referências

  1. a b G. A. Miller, What is Group Theory?, publicado em Popular Science, edição de fevereiro de 1904, p.371 [google groups]