Associatividade

Em matemática, associatividade é uma propriedade de operações binárias que diz respeito ao comportamento da operação, quando realizada em seqüência sobre os elementos do conjunto. Uma operação é dita associativa quando a ordem pela qual agrupamos as operações, quando ela aparece mais de uma vez em uma expressão, é irrelevante.

É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:

• $2 + (3+6) = (2+3) + 6$

De uma forma mais abstrata a associatividade esta relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.

Definição

Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:

$\forall x,y,z \in S\quad f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z)$

Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S

Exemplos

• A adição e multiplicação de números reais:

$\left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R}.$

• A multiplicação de matrizes é associativa.
• As funções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum são associativas:

$\left. \begin{matrix} \operatorname{mdc}(\operatorname{mdc}(x,y),z)= \operatorname{mdc}(x,\operatorname{mdc}(y,z))= \operatorname{mdc}(x,y,z)\ \quad \\ \operatorname{mmc}(\operatorname{mmc}(x,y),z)= \operatorname{mmc}(x,\operatorname{mmc}(y,z))= \operatorname{mmc}(x,y,z)\quad \end{matrix} \right\}\mbox{ para todo }x,y,z\in\mathbb{Z}.$

• O produto vetorial não é associativo: i x (i x j) = i x k = -j, mas (i x i) x j = 0.