Associatividade

Em matemática, associatividade é uma propriedade de operações binárias que diz respeito ao comportamento da operação, quando realizada em seqüência sobre os elementos do conjunto. Uma operação é dita associativa quando a ordem pela qual agrupamos as operações, quando ela aparece mais de uma vez em uma expressão, é irrelevante.

É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:

• $2 + (3+6) = (2+3) + 6$

De uma forma mais abstrata a associatividade esta relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.

Definição

Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:

$\forall x,y,z \in S\quad f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z)$

Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S

Exemplos

• A adição e multiplicação de números reais:

$\left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R}.$

• A multiplicação de matrizes é associativa.
• As funções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum são associativas:

$\left. \begin{matrix} \operatorname{mdc}(\operatorname{mdc}(x,y),z)= \operatorname{mdc}(x,\operatorname{mdc}(y,z))= \operatorname{mdc}(x,y,z)\ \quad \\ \operatorname{mmc}(\operatorname{mmc}(x,y),z)= \operatorname{mmc}(x,\operatorname{mmc}(y,z))= \operatorname{mmc}(x,y,z)\quad \end{matrix} \right\}\mbox{ para todo }x,y,z\in\mathbb{Z}.$

• O produto vetorial não é associativo: i x (i x j) = i x k = -j, mas (i x i) x j = 0.

Somatório e Produtório

Uma operação associativa, representada pelo símbolo de + (soma) ou ., permite que se defina o somatório ou produtório de uma quantidade inteira positiva de elementos, sem ambigüidade:

$\sum_{i=1}^{1} x_i = x_1$

$\sum_{i=1}^{n+1} x_i = \sum_{i=1}^{n} x_i + x_{n+1} = x_1 + \sum_{i=1}^{n} x_{i+1}$

e

$\prod_{i=1}^{1} x_i = x_1$

$\prod_{i=1}^{n+1} x_i = ( \prod_{i=1}^{n} x_i ) . x_{n+1} = x_1 . ( \prod_{i=1}^{n} x_{i+1} )$

Para ver como a associatividade é essencial, basta imaginar o que seria, para o produto vetorial, $\prod_{i=1}^{3} x_i$, sendo $x_1 , x_2 e x_3$ três vetores do $\mathbb{R}^3$.

Caso a operação binária também seja comutativa, pode-se definir o somatório e o produtório de elementos para um conjunto de índices finito não-vazio S qualquer:

$\begin{cases} \sum_{i \in \{a\}} x_i = x_a \\ \sum_{i \in \{a\} \cup S} x_i = x_a + \sum_{i \in S} x_i \\ \end{cases}$

Caso a operação binária seja associativa e tenha elemento neutro, pode-se definir o somatório e o produtório de elementos para um conjunto de índices ordenado S desde que $x_i, i \in S\,$ tenha suporte finito, ou seja, que todos exceto um número finito de $x_i\,$ sejam iguais ao elemento neutro e:

$\begin{cases} \mbox{se } \exists j \in S | x_j \neq e \rightarrow \prod_{i \in S} x_i = \prod_{i \in S \land i < j} x_i * x_j * \prod_{i \in S \land i > j} x_i \\ \mbox{se } \nexists j \in S | x_j \neq e \rightarrow \prod_{i \in S} x_i = e \end{cases}$

(note que a definição acima foi propositalmente escrita de forma ambígua, deve-se provar que ela faz sentido)

Finalmente, no caso mais particular de uma operação binária associativa, comutativa e com elemento neutro, pode-se definir o somatório e o produtório para um conjunto de índices S bastando apenas que $x_i\,$ tenha suporte finito:

$\begin{cases} \sum_{i \in \varnothing} x_i = 0 \\ \sum_{i \in \{a\} \cup S} x_i = x_a + \sum_{i \in S} x_i \\ \end{cases}$

Referências

• Eric W. Weisstein, Associative em MathWorld.