Associatividade
Em matemática, associatividade é uma propriedade de operações binárias que diz respeito ao comportamento da operação, quando realizada em seqüência sobre os elementos do conjunto. Uma operação é dita associativa quando a ordem pela qual agrupamos as operações, quando ela aparece mais de uma vez em uma expressão, é irrelevante.
É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:
De uma forma mais abstrata a associatividade esta relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.
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[editar] Definição
Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:
Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S
[editar] Exemplos
- A adição e multiplicação de números reais:
- A multiplicação de matrizes é associativa.
- As funções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum são associativas:
- O produto vetorial não é associativo: i x (i x j) = i x k = -j, mas (i x i) x j = 0.
[editar] Somatório e Produtório
Uma operação associativa, representada pelo símbolo de + (soma) ou ., permite que se defina o somatório ou produtório de uma quantidade inteira positiva de elementos, sem ambigüidade:
e
Para ver como a associatividade é essencial, basta imaginar o que seria, para o produto vetorial,
, sendo
três vetores do
.
Caso a operação binária também seja comutativa, pode-se definir o somatório e o produtório de elementos para um conjunto de índices finito não-vazio S qualquer:

Caso a operação binária seja associativa e tenha elemento neutro, pode-se definir o somatório e o produtório de elementos para um conjunto de índices ordenado S desde que
tenha suporte finito, ou seja, que todos exceto um número finito de
sejam iguais ao elemento neutro e:

(note que a definição acima foi propositalmente escrita de forma ambígua, deve-se provar que ela faz sentido)
Finalmente, no caso mais particular de uma operação binária associativa, comutativa e com elemento neutro, pode-se definir o somatório e o produtório para um conjunto de índices S bastando apenas que
tenha suporte finito:








