Atractor de Lorenz

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A trajectória do sistema de Lorenz para valores de ρ=28, σ = 10, β = 8/3

O Atractor de Lorenz foi introduzido por Edward Lorenz em 1963, que o derivou a partir das equações simplificadas de rolos de convecção que ocorrem nas equações da atmosfera. É um mapa caótico que mostra como o estado de um sistema dinâmico evolui no tempo num padrão complexo, não-repetitivo e cuja forma é conhecida por se assemelhar a uma borboleta.

Trata-se de um sistema não-linear, tridimensional e determinístico que exibe comportamento caótico e demonstra aquilo a que hoje se chama um atractor estranho.

As equações que governam o Atractor de Lorenz são:

\frac{dx}{dt}  = \sigma (y - x)
\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y
\frac{dz}{dt}  = xy - \beta z

em que a \sigma se chama o número de Prandtl e a \rho se chama o número de Rayleigh. Todos os \sigma, \rho, \beta > 0, mas usualmente \sigma = 10, \beta = 8/3, enquanto \rho varia. O sistema exibe comportamento caótico para \rho = 28 mas tem órbitas periódicas para outros valores de \rho.

O efeito borboleta no atractor de Lorenz[editar | editar código-fonte]

O efeito borboleta
Tempo t=1 (maior) Tempo t=2 (maior) Tempo t=3 (maior)
Lorenz caos1-175.png Lorenz caos2-175.png Lorenz caos3-175.png
Estas figuras — feita usando ρ=28, σ = 10 and β = 8/3 — mostram três segmentos temporais da evolução 3-D no atractor de Lorenz de duas trajectórias (uma a azul, a outra a amarelo), começando em dois pontos iniciais que diferem apenas de 10-5 na coordenada x. Inicialmente, as duas trajectórias parecem coincidir (só se vendo a amarela, por estar desenhada sobre a azul) mas, ao fim de algum tempo, a divergência é óbvia.
Uma animação Java do atractor de Lorenz mostra a evolução contínua.

Usando valores diferentes para o número de Rayleigh[editar | editar código-fonte]

O atractor de Lorenz para valores diferentes de ρ
Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png Lorenz Ro13-200px.png
ρ=14, σ=10, β=8/3 (maior) ρ=13, σ=10, β=8/3 (maior)
Lorenz Ro15-200px.png Lorenz Ro28-200px.png
ρ=15, σ=10, β=8/3 (maior) ρ=28, σ=10, β=8/3 (maior)
Para valores pequenos de ρ, o sistema é estável e evolui para um de dois pontos atractores. Quando ρ é maior do que 24.74, os pontos fixos tornam-se repulsores e a trajectória é repelida por eles de um modo muito complexo, evoluindo sem nunca se cruzar sobre si própria.
Animação Java mostrando a evolução para valores diferentes de ρ

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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