Axioma da extensão

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O axioma da extensão, também chamado axioma da extensionalidade ou ainda axioma da unicidade, cumpre, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o papel de estabelecer como as relações de pertinência (\in) e igualdade de conjuntos (=) estão relacionadas. O seu enunciado diz:

Se dois conjuntos x e y são tais que todo elemento de x é elemento de y e todo elemento de y é elemento de x, então x e y são iguais.

Na linguagem da lógica formal podemos enunciá-lo da seguinte forma:

\forall x \forall y(\forall z(z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x = y).

O conteúdo deste axioma é claro: um conjunto é completamente determinado pelos elementos que contêm. Alguns matemáticos dizem isso afirmando que um conjunto é determinado pela sua extensão o que é, talvez, não muito claro. O outro nome pelo qual o axioma é conhecido, axioma da unicidade, é mais sugestivo: não há dois conjuntos com exatamente os mesmos elementos.

Bart e Lisa têm os mesmos ancestrais, contudo Bart \neq Lisa.

Pode parecer uma trivialidade formal exigir que se dois conjuntos têm os mesmos elementos então são iguais, mas não é tanto como parece. Halmos diz, em Teoria ingênua dos conjuntos[1] , que é valioso compreender o axioma da extensão não apenas como uma propriedade lógica necessária de igualdade, mas também como uma proposição não-trivial sobre pertinência. Para esclarecer, sugere compararmos pertinência-igualdade de conjuntos com ancestralidade-igualdade de humanos, considerando seres humanos no lugar de conjuntos e colocando x \in y sempre que x for ancestral de y. É claro que neste caso o análogo do axioma da extensão não vale. Realmente, se Bart e Lisa são irmãos, têm então os mesmos ancestrais, contudo não são seres humanos iguais.

Em termos da inclusão de conjuntos (\subset) podemos ainda expressar o axioma da extensão como[2]

\forall x\forall y((x\subset y \wedge y\subset x) \rightarrow x = y).

Em palavras,

A inclusão de conjuntos é anti-simétrica.

A recíproca do axioma da extensão,

\forall x \forall y(x = y \rightarrow \forall z(z\in x \leftrightarrow z\in y)),

é evidentemente verdadeira[3] e alguns autores referem-se a proposição completa

\forall x \forall y(\forall z(z\in x \leftrightarrow z\in y) \leftrightarrow x = y)

como sendo o axioma da extensão. Historicamente isto não é correto mas, por outro lado, não há qualquer problema lógico em enunciar o axioma nesta forma; exceto que a implicação recíproca acrescentada não é, de fato, um axioma[4] .

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Halmos, pp. 4 e 5
  2. Note que
    \forall z(z\in x \leftrightarrow z\in y)
    \equiv \forall z((z\in x \rightarrow z\in y)\wedge(z\in y \rightarrow z\in x))
    \equiv \forall z(z\in x \rightarrow z\in y) \wedge \forall z(z\in y \rightarrow z\in x)
    \equiv x\subset y \wedge y\subset x
  3. Mera substituição de y por x é o suficiente para verificá-la.
  4. É dedutível.

Referências[editar | editar código-fonte]

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