Axioma da potência

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Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC)

Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se:

\forall A \, \exists P \, \forall B \, [B \in P \iff \forall C \, (C \in B \Rightarrow C \in A)]

onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, \mathcal{P}(A). Em português, ele diz:

Para todo conjunto A, existe um conjunto \mathcal{P}(A) tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a \mathcal{P}(A) se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.)

Pelo axioma da extensão este conjunto é único. Nos chamamos o conjunto \mathcal{P}(A) de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes.

O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a Teoria Construtivista dos Conjuntos prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade.

Consequências[editar | editar código-fonte]

O Axioma da Potência permite uma definição simples de Produto Cartesiano de dois conjuntos X e Y:

 X \times Y = \{ (x, y) : x \in X \land y \in Y \}.

Perceba que:

x, y \in X \cup Y
\{ x \}, \{ x, y \} \in \mathcal{P}(X \cup Y)
(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))

e portanto, o produto cartesiano é um conjunto, já que

 X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)).

Pode-se definir o produto cartesiano de qualquer coleção finita de conjuntos recursivamente:

 X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n.

Note que a existência do produto cartesiano pode ser provada sem o uso do Axioma da Potência, como no caso da Teoria dos Conjuntos de Kripke-Platek.

Referencias[editar | editar código-fonte]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.


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