Axioma da potência

Em teoria dos conjuntos e, em especial, na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, o axioma da potência é aquele que garante a existência do conjunto das partes de qualquer conjunto.

Em outras palavras, dado um conjunto X existe um conjunto P tal que, qualquer que seja $Y \subset X\,$, temos que $Y \in P\,$.

A forma mais conveniente de apresentar o axioma em forma rigorosa é, primeiro, introduzir a notação de subconjunto:

$A \subseteq B \iff \forall x (x \in A \implies x \in B)\,$.

Então o axioma se expressa assim:

$\forall A \exists P \forall x (x \subseteq A \implies x \in P)\,$

Junto com o axioma da separação e o axioma da extensão,^{[carece de fontes]} o axioma da potência permite definir o único conjunto das partes P(A):

$P(A) = \{ x \in$ algum conjunto que existe pelo axioma da potência $| \ x \subseteq A \}\,$

Ver também

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