Axioma da potência

Em matemática, o Axioma da Potência é um dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC)

Na linguagem formal dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se:

$\forall A \, \exists P \, \forall B \, [B \in P \iff \forall C \, (C \in B \Rightarrow C \in A)]$

onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, $\mathcal{P}(A)$. Em português, ele diz:

Para todo conjunto A, existe um conjunto $\mathcal{P}(A)$ tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a $\mathcal{P}(A)$ se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.)

Pelo axioma da extensão este conjunto é único. Nos chamamos o conjunto $\mathcal{P}(A)$ de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes.

O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a Teoria Construtivista dos Conjuntos prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade.

Consequências

O Axioma da Potência permite uma definição simples de Produto Cartesiano de dois conjuntos $X$ e $Y$:

$X \times Y = \{ (x, y) : x \in X \land y \in Y \}.$

Perceba que:

$x, y \in X \cup Y$

$\{ x \}, \{ x, y \} \in \mathcal{P}(X \cup Y)$

$(x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))$

e portanto, o produto cartesiano é um conjunto, já que

$X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)).$

Pode-se definir o produto cartesiano de qualquer coleção finita de conjuntos recursivamente:

$X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n.$

Note que a existência do produto cartesiano pode ser provada sem o uso do Axioma da Potência, como no caso da Teoria dos Conjuntos de Kripke-Platek.

Referencias

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

• Wikilivros