Axioma da regularidade

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O axioma da regularidade, também conhecido como axioma da fundação, em teoria dos conjuntos, é o que garante, essencialmente, que um conjunto não pode ser membro dele mesmo (diretamente, como X \in X\,, ou indiretamente, através de uma cadeia de outros conjuntos X \in X_1 \in X_2 \ldots \in X\,.

A sua formulação, devida a von Neumann (em 1925), em lógica de primeira ordem é:

\forall A (\exists B (B \in A) \rightarrow \exists B (B \in A \land \lnot \exist C (C \in A \land C \in B))).

Ou seja, todo conjunto que não é o conjunto vazio possui um elemento que é totalmente disjunto dele.

Este é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, e de outras importantes versões da teoria dos conjuntos. Em versões da teoria dos conjuntos que violam este axioma, os "culpados" são chamados de hiperconjuntos; um exemplo é o átomo de Quine Q = { Q }.

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