Axioma da separação

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O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria dos Conjuntos.

Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma[editar | editar código-fonte]

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.[1]

Se z é um conjunto e \phi\! é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula \phi\! na linguagem da ZFC com variáveis livres entre x,z,w_1,\ldots,w_n\!:

\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff (x \in z \land \phi ) )

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada \phi\! temos um novo axioma.

φ deve ser uma fórmula bem formada[2]

História[editar | editar código-fonte]

Na Teoria ingênua dos conjuntos, o esquema usado (implicitamente) era:

\forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff ( \phi ) )

Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.

Este esquema leva ao paradoxo de Russell e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de z.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • A existência da interseção de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos y e z, e a propriedade \phi(x,y,z) = (x \in y)\,, o axioma diz que existe um conjunto w tal que x \in w \iff x \in z \land \phi\,

Referências

  1. Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  2. Schemes for generating well-formed formulas, na Encyclopædia Britannica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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