Axioma da separação

 Nota: Se procura o axioma da separação do plano, veja Axioma de Pasch.

O Axioma da separação (também conhecido como Axioma da compreensão ou Axioma de especificação) é um dos axiomas (ou, mais precisamente, um dos esquemas de axiomas) que fazem parte dos Axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria dos Conjuntos.

Essencialmente, o axioma diz que se um conjunto A existe, e conseguimos descrever (através de uma propriedade) elementos deste conjunto, então existe um conjunto B, subconjunto de A, que contém estes elementos.

Este "axioma" é, a rigor, um esquema de axiomas, porque, para cada propriedade Φ, existe um "axioma da separação".

Axioma

A forma apresentada abaixo se deve a Kunen.

Se z é um conjunto e $\phi\!$ é qualquer propriedade que possa ser atribuída a elementos x de z, então existe um subconjunto y de z que contém os elementos x de z e que possuem essa propriedade.

Formalmente: qualquer fórmula $\phi\!$ na linguagem da ZFC com variáveis livres entre $x,z,w_1,\ldots,w_n\!$:

$\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff (x \in z \land \phi ) )$

Notar que esse não é um axioma, mas um esquema de axiomas: para cada $\phi\!$ temos um novo axioma.

φ deve ser uma fórmula bem formada

História

Na Teoria ingênua dos conjuntos, o esquema usado (implicitamente) era:

$\forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \iff ( \phi ) )$

Ou seja, qualquer fórmula define um conjunto.

Este esquema leva ao paradoxo de Russell e suas variantes, o que não acontece quando é imposta a restrição a elementos de z.

Exemplo

• A existência da interseção de conjuntos é garantida por este axioma. Formalmente, dados conjuntos y e z, e a propriedade $\phi(x,y,z) = (x \in y)\,$, o axioma diz que existe um conjunto w tal que $x \in w \iff x \in z \land \phi\,$

Ver também

• Wikilivros