Axioma da substituição

Em teoria dos conjuntos, o axioma da substituição é um esquema de axiomas que garante a existência de um conjunto que é imagem de outro conjunto. Em termos simples, se existe alguma regra tal que y = f(x) se comporta como se f fosse uma função para todo x, $x \in A\,$, então existe um conjunto B de todos os y = f(x), $x \in A\,$.

Este axioma é essencial para a construção de determinados conjuntos infinitos.

Exemplo

The número ordinal ω·2 = ω + ω (usando a definição moderna, devida a von Neumann) é o primeiro ordinal que não pode ser construído sem o axioma da substituição. O axioma do infinito garante a existência da sequência infinita ω = {0, 1 ,2 ,...}, e apenas esta sequência infinita. O objetivo é definir ω·2 como a união da sequência {ω, ω + 1, ω + 2,...}. O problema é que uma classe de ordinais pode não ser um conjunto (a classe de todos os ordinais, por exemplo, não é um conjunto - ver o paradoxo de Burali-Forti). O axioma da substituição permite substituir cada número finito n em ω pelo (único) ω + n, e garante que esta classe é um conjunto. Note-se que o axioma não é necessário para se construir um conjunto bem-ordenado isomórfico a ω·2 - basta tomar a união disjunta de duas cópias de ω, definindo-se que qualquer elemento da segunda cópia é maior que qualquer elemento da primeira; este conjunto, porém, não é um número ordinal (segundo von Neumann) porque não é totalmente ordenado pela relação $\in\,$.

Ver também

• Wikilivros

• Axiomas de Zermelo-Fraenkel