Axioma do par

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

O axioma do par diz que, dados dois conjuntos, existe um conjunto no qual esses dois conjuntos são elementos.

Em termos um poucos mais técnicos, sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que A \in C\, e B \in C\,.

Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.

Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:

 \forall x,y \ \exists z \ (x \in z \land y \in z)\,

Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:

 \forall x,y \ \exists! z \ (x \in z \land y \in z \land \forall w \ (w \in z \rightarrow (w = x \lor w = y)))\,

Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto

 \{ w \in z : w = x \lor w = y \}\,

e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem  x \in z \land y \in z \land \forall w \ (w \in z \rightarrow (w = x \lor w = y))\, são iguais.

Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:

\{ x , y \}\,

Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:

\{ x \} = \{ x , x \}\,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.