Base (topologia)

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Em Topologia, uma base de um espaço topológico é uma coleção de abertos que gera todos abertos, de forma que qualquer aberto é uma união de abertos da base.[1] [2]

Em outras palavras, uma coleção de abertos B é uma base de uma topologia \tau\, em um conjunto X se, e somente se:

\forall A \in \tau \ , \ \exists T \subset B \ , \ A = \bigcup_{A_{\lambda} \in T} A_{\lambda}\,

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Em um espaço métrico, a topologia induzida pela métrica tem, como base, as bolas abertas.
  • Na topologia discreta, a coleção dos conjuntos unitários é uma base.
  • Normalmente, existem várias bases, porque, ao se acrescentar a uma base qualquer quantidade de conjuntos abertos, ela continua sendo uma base. A topologia grosseira em um conjunto X, porém, pode ter apenas duas bases: ou a coleção { X }, ou a coleção { Ø, X }.
  • Deve-se notar que nem toda coleção pode ser considerada uma base de uma topologia. Por exemplo, no conjunto X = { 0, 1, 2}, a coleção B = {{0, 1}, {1, 2}} não é uma base, porque, se fosse, o conjunto A = {1} teria que ser um aberto (interseção de abertos), mas A não é a união de elementos da base.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O contra-exemplo acima sugere que, para que uma coleção de subconjuntos de X seja uma base para alguma topologia de X, basta satisfazer as seguintes propriedades:

  • Qualquer elemento de X é elemento de algum elemento da base
  • Dado qualquer elemento a de qualquer interseção de quaisquer dois membros da base, existe um outro membro A da base, totalmente contido nessa interseção, tal que a \in A\,

Definição alternativa[editar | editar código-fonte]

Uma definição alternativa de base é:[3]

Um subconjunto B de uma topologia \tau\, em um conjunto X é uma base quando todo elemento x de algum aberto U da topologia é elemento de um elemento V da base, e este elemento da base é um subconjunto do aberto inicial U

Ou seja:

\forall x \in X, U \in \tau \ , \ (x \in U \implies \exists V \in B \ , \ (x \in V \subseteq U))\,

É fácil mostrar que as duas definições são equivalentes[1] .


Sub-base[editar | editar código-fonte]

Como uma coleção S de subconjuntos de X pode não ser uma base para uma topologia de X, qual é a menor topologia tal que os membros de S são abertos? Isso leva à definição de sub-base: S é uma sub-base de uma topologia \tau\, quando a coleção das interseções finitas de membros de S é uma base de \tau\,.

Note-se que qualquer coleção de conjuntos é a sub-base de alguma topologia.

Referências

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