Braquistócrona

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Braquistócrona
Braquistócrona

Denomina-se braquistócrona a trajectória de uma partícula que, sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas condições dadas é, obviamente, a recta que os une, mas sim, qual trajetória é percorrida no menor tempo.

Origem da palavra[editar | editar código-fonte]

Esta palavra vem do grego brakhisto (o mais curto) e chronos (tempo).

História[editar | editar código-fonte]

Citação
«Que aquele que consiga solucionar este problema conquiste o prémio que prometemos. Este prémio não é ouro nem prata (...) mas antes as honras, os elogios e os aplausos; (...) exaltaremos, pública e privadamente, por palavra e por carta, a perspicácia do nosso grande Apollo.»
Johann Bernoulli-proclamação de 1697 [1]

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig, de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio científico, o que terá sido aceite.

Citação
«Reconheço o leão pela sua garra.»
Comentário atribuído a Johann Bernoulli referindo-se a Newton, a propósito da solução anónima apresentada[1]

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do próprio, a do seu tio Jacob, a de Leibniz, a de Hôpital e uma sob anonimato (que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a diferentes alturas não é uma linha recta. Esse menor tempo é obtido se a bola percorrer uma linha em forma de ciclóide.

Demonstração por Bernoulli[editar | editar código-fonte]

Pelo Princípio de Fermat o caminho mais curto entre dois pontos é o que segue um raio de luz. A curva Braquistócrona corresponderá assim ao trajecto seguido pela luz num meio em que a velocidade aumento segunda uma aceleração constante(a força da gravidade g).

A lei da conservação de energia permite expressar a velocidade de um corpo submetido à atracção terrestre pela fórmula:

v=\sqrt{2gh},

onde h representa a perda de altitude em relação ao ponto de partida. De notar que não depende do ponto de partida horizontal.

A lei da refracção indica que um raio luminoso ao longo da sua trajectória obedece à regra:

\frac{sen{\theta}}{v}=K,

onde \theta representa o ângulo em relação à vertical e K uma constante.

Inserindo nesta fórmula a expressão da velocidade acima, tiram-se de imediato duas conclusões:

1- No ponto de partida, visto que a velocidade é nula, o ângulo também é nulo. Logo a curva braquistócrona é tangente à vertical na origem.

2- A velocidade é limitada, pois o seno não pode ser superior a 1. Esta velocidade máxima á atingida quando a partícula (ou o raio) passa pela horizontal.

Sem prejudicar a generalidade do problema, supõe-se que a partícula parta do ponto de coordenadas (0,0) e que a velocidade máxima seja atingida à altitude –D. A lei da refracção exprime-se então por:

\frac{sen{\theta}}{\sqrt{-2gy}}=\frac{1}{\sqrt{2gD}}.

Num ponto qualquer da trajectória podemos aplicar a relação:

sen{\theta}=\frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}}.

Inserindo esta expressão na fórmula precedente e arrumando os termos da mesma obtém-se:

\begin{pmatrix}\frac{dy}{dx}\end{pmatrix}^2=-\frac{D+y}{y}.

Que corresponde à equação diferencial do oposto de uma cicloide gerado pelo diâmetro D.

Referências

  1. a b STRUIK, D.J., A Source Book in Mathematics 1200-1800, Cambridge: Harvard University Press, pág.651, 1969. -Tradução da proclamação publicada em latim na Acta Eruditorium

Bibliografia[editar | editar código-fonte]