Campo conservativo

Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do $\mathbb{R}^3$ e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Definição

Um campo vetorial

$\mathbf{v}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$

é dito conservativo se, e somente se, pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar $\varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$:

$\mathbf{v}=\nabla\varphi$.

$V = -\varphi$ é chamado de potencial do campo $\mathbf{v}$. Se identificarmos o espaço tangente $\mathbf{v}\in T\mathbb{R}^3$ com o espaco de 1-formas diferenciais $\mathbf{\omega}\in\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ através do produto interno $\mathbf{\omega}({\mathbf{u}})=\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle$, então, um campo vetorial conservativo pode ser identificado como uma 1-forma exata $\omega=d\varphi$.

Campos vetoriais irrotacionais

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

$\nabla\times\mathbf{v}=\nabla\times\nabla\varphi = 0$

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior $\displaystyle d^2=0$ nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

$H^1_{dR} = \frac{ \operatorname{Nuc}\{ d\colon \Omega^1\to \Omega^{2}\}}{ \operatorname{Im}\{ d\colon \Omega^{0}\to \Omega^{1}\}}$.

No caso considerado aqui, $H^1_{dR}(\mathbb{R}^3)=0$ e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de $\mathbb{R}^3$ que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo $\mathbb{R}^3$, isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac $\mathbb{R}^3 - \{(0,0,z)~|~z\in\mathbb{R}\}$ que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminho

Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

$\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{x} = \oint_{\mathcal{C}} \nabla\varphi \cdot d\mathbf{x} = 0$

Interpretação física

Mecânica

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

$\mathbf{F} = m \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} \Rightarrow -\nabla{V} = m \nabla\left[\frac{1}{2}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)^2\right]\Rightarrow \nabla(V+T)=0\Rightarrow E=cte.$

onde $T=\frac{m}{2}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)^2$ é a energia cinética e $\displaystyle E=T+V$ é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

$\displaystyle W=-\Delta{V}$

Alguns exemplos de forças conservativas são:

• Gravitação universal de Newton

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa $\displaystyle m$ em $\displaystyle \mathbf{r}$ devido a um corpo pontual de massa $\displaystyle M$ em $\displaystyle \mathbf{r}^{\prime}$ é:

$\mathbf{F}=-GmM\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|^3}\Rightarrow V=-GmM\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}$

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

• Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

$\mathbf{F}=-k\mathbf{x}\Rightarrow V=\frac{1}{2}k|\mathbf{x}|^2$

Eletromagnetismo

As equações de Maxwell, especificamente $\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}}$, mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo. As curvas de nível do potencial elétrico $\displaystyle V=cte$ são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$ é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica Quântica

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

$i\hslash\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-\frac{\hslash^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi$

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver também

• Força conservativa

Referências

• Lima, E.L.;. Curso de Análise, vol 2.. segunda edição ed. [S.l.]: IMPA, 2005. ISBN 85-244-0049-8
• Nakahara, M.;. Geometry, Topology and Physics.. segunda edição ed. [S.l.]: Taylor & Francis, 2003. ISBN 978-0750306065
• Frankel, T.;. The Geometry of Physics: An Introduction.. segunda edição ed. [S.l.]: Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0521539272