Campo conservativo

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Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do \mathbb{R}^3 e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um campo vetorial

 \mathbf{v}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3

é dito conservativo se, e somente se, pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar \varphi:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}:

 \mathbf{v}=\nabla\varphi .

V = -\varphi é chamado de potencial do campo \mathbf{v}. Se identificarmos o espaço tangente \mathbf{v}\in T\mathbb{R}^3 com o espaco de 1-formas diferenciais \mathbf{\omega}\in\Omega^1(\mathbb{R}^3) através do produto interno \mathbf{\omega}({\mathbf{u}})=\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle, então, um campo vetorial conservativo pode ser identificado como uma 1-forma exata \omega=d\varphi.

Campos vetoriais irrotacionais[editar | editar código-fonte]

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

\nabla\times\mathbf{v}=\nabla\times\nabla\varphi = \vec{0}

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior \displaystyle d^2=0 nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

H^1_{dR} = \frac{ \operatorname{Nuc}\{ d\colon \Omega^1\to \Omega^{2}\}}{  \operatorname{Im}\{ d\colon \Omega^{0}\to \Omega^{1}\}}.

No caso considerado aqui, H^1_{dR}(\mathbb{R}^3)=0 e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de \mathbb{R}^3 que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo \mathbb{R}^3, isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac \mathbb{R}^3 - \{(0,0,z)~|~z\in\mathbb{R}\} que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminho[editar | editar código-fonte]

Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{x} = \oint_{\mathcal{C}} \nabla\varphi \cdot d\mathbf{x} = 0

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Mecânica[editar | editar código-fonte]

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

\mathbf{F} = m \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} \Rightarrow -\nabla{V} = m \nabla\left[\frac{1}{2}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)^2\right]\Rightarrow \nabla(V+T)=0\Rightarrow E=cte.

onde T=\frac{m}{2}\left(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\right)^2 é a energia cinética e \displaystyle E=T+V é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

\displaystyle W=-\Delta{V}

Alguns exemplos de forças conservativas são:

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa \displaystyle m em \displaystyle \mathbf{r} devido a um corpo pontual de massa \displaystyle M em \displaystyle \mathbf{r}^{\prime} é:

\mathbf{F}=-GmM\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|^3}\Rightarrow V=-GmM\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

  • Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

\mathbf{F}=-k\mathbf{x}\Rightarrow V=\frac{1}{2}k|\mathbf{x}|^2

Eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

As equações de Maxwell, especificamente \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial{t}}, mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo. As curvas de nível do potencial elétrico \displaystyle V=cte são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica \mathbf{F}=q\mathbf{E} é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica Quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

i\hslash\frac{\partial\psi}{\partial{t}}=-\frac{\hslash^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, E.L.;. Curso de Análise, vol 2.. segunda edição ed. [S.l.]: IMPA, 2005. ISBN 85-244-0049-8
  • Nakahara, M.;. Geometry, Topology and Physics.. segunda edição ed. [S.l.]: Taylor & Francis, 2003. ISBN 978-0750306065
  • Frankel, T.;. The Geometry of Physics: An Introduction.. segunda edição ed. [S.l.]: Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0521539272