Caráter de um grupo

Em matemática, um caráter de um grupo é o grupo de representações de um grupo por funções de valores complexos.

Estas funções podem ser pensados como representações em matrizes unidimensionais e logo são casos especiais do grupo de caráteres que se colocam no relacionado contexto da teoria do caráter. Quando um grupo é representado por matrizes, a função definida pelo traço de matrizes é chamada um caráter; no entanto, esses traços em geral, não formam um grupo.

Algumas propriedades importantes destes caráteres unidimensionais aplicáveis a caráteres em geral:

• Caráteres são invariantes sobre classes de conjugação.
• Os caráteres de representações irredutíveis são ortogonais.

A primordial importância do grupo de caráter para grupos abelianos finitos é na teoria dos números, onde são usados para construir caráteres de Dirichlet. O grupo de caráter do grupo cíclico também aparece na teoria da transformada de Fourier discreta. Para grupos abelianos localmente compactos, o grupo de caráter (com uma pressuposição de continuidade) é central na análise de Fourier.

Noções preliminares

Sendo G um grupo arbitrário. Uma função $f:G\rightarrow \mathbb{C}\backslash\{0\}$ mapeando o grupo aos números complexos diferentes de zero é chamada um caráter de G se ele é um homomorfismo de grupos — isto é, se $\forall g_1,g_2 \in G\;\; f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$ e $f(e)=1$ onde e é a identidade do grupo.

Se f é um caráter de um grupo finito G, então cada função de valor f(g) é uma raíz da unidade (desde que todos os elementos de um grupo finito tenham ordem finita).

Cada caráter f é uma constante sobre classes de conjugação de G, que é, f(h g h⁻¹) = f(g). Por esta razão, o caráter é algumas vezes chamado função de classe.

Um grupo abeliano finito de ordem n tem exatamente n caráteres distintos. Estes são notados por f₁, ..., f_n. A função f₁ é a representação trivial; que é, $\forall g \in G\;\; f_1(g)=1$. Ela é chamada de caráter principal de G; os outros são chamados de caráteres não principais. Os caráteres não principais tem a propriedade que $f_i(g)\neq 1$ para algum $g \in G$.

Definição

Se G é um grupo abeliano, então o conjunto de caráteres f_k forma um grupo abeliano sob multiplicação $(f_j f_k)(g)= f_j(g) f_k(g)$ para cada elemento $g \in G$. Este grupo é o grupo de caráteres de G e é algumas vezes notado como $\hat {G}$. Esta é de ordem n. O elemento identidade de $\hat {G}$ é o caráter principal f₁. A inversa de f_k é a recíproca 1/f_k. Note que desde que $\forall g \in G\;\; |f_k(g)|=1$, a inversa igual ao conjugado complexo.

Ortogonalidade de caráteres

Considere-se a matriz $n \times n$ A=A(G) cujo elementos são $A_{jk}=f_j(g_k)$ onde $g_k$ é o késimo elemento de G.

A soma das entradas na jésima linha de A é dada por

$\sum_{k=1}^n A_{jk} = \sum_{k=1}^n f_j(g_k) = 0$ if $j \neq 1$, e

$\sum_{k=1}^n A_{1k} = n$.

A soma das entradas na késima coluna A é dada por

$\sum_{j=1}^n A_{jk} = \sum_{j=1}^n f_j(g_k) = 0$ if $k \neq 1$, e

$\sum_{j=1}^n A_{j1} = \sum_{j=1}^n f_j(e) = n$.

Sendo que $A^\ast$ denota o conjugado transposto de A. Então

$AA^\ast = A^\ast A = nI$.

Isto implica que a desejada relação de ortogonalidade para os caráteres: i.e.,

$\sum_{k=1}^n {f_k}^* (g_i) f_k (g_j) = n \delta_{ij}$ ,

onde $\delta_{ij}$ é o delta de Kronecker e $f^*_k (g_i)$ é o conjugado complexo de $f_k (g_i)$.

Referências

• Ver capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Ver também

• Dualidade de Pontryagin