Caráter de um grupo

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Em matemática, um caráter de um grupo é o grupo de representações de um grupo por funções de valores complexos.

Estas funções podem ser pensados como representações em matrizes unidimensionais e logo são casos especiais do grupo de caráteres que se colocam no relacionado contexto da teoria do caráter. Quando um grupo é representado por matrizes, a função definida pelo traço de matrizes é chamada um caráter; no entanto, esses traços em geral, não formam um grupo.

Algumas propriedades importantes destes caráteres unidimensionais aplicáveis a caráteres em geral:

  • Caráteres são invariantes sobre classes de conjugação.
  • Os caráteres de representações irredutíveis são ortogonais.

A primordial importância do grupo de caráter para grupos abelianos finitos é na teoria dos números, onde são usados para construir caráteres de Dirichlet. O grupo de caráter do grupo cíclico também aparece na teoria da transformada de Fourier discreta. Para grupos abelianos localmente compactos, o grupo de caráter (com uma pressuposição de continuidade) é central na análise de Fourier.

Noções preliminares[editar | editar código-fonte]

Sendo G um grupo arbitrário. Uma função f:G\rightarrow \mathbb{C}\backslash\{0\} mapeando o grupo aos números complexos diferentes de zero é chamada um caráter de G se ele é um homomorfismo de grupos — isto é, se \forall g_1,g_2 \in G\;\; f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2) e f(e)=1 onde e é a identidade do grupo.

Se f é um caráter de um grupo finito G, então cada função de valor f(g) é uma raíz da unidade (desde que todos os elementos de um grupo finito tenham ordem finita).

Cada caráter f é uma constante sobre classes de conjugação de G, que é, f(h g h−1) = f(g). Por esta razão, o caráter é algumas vezes chamado função de classe.

Um grupo abeliano finito de ordem n tem exatamente n caráteres distintos. Estes são notados por f1, ..., fn. A função f1 é a representação trivial; que é, \forall g \in G\;\; f_1(g)=1. Ela é chamada de caráter principal de G; os outros são chamados de caráteres não principais. Os caráteres não principais tem a propriedade que f_i(g)\neq 1 para algum g \in G.

Definição[editar | editar código-fonte]

Se G é um grupo abeliano, então o conjunto de caráteres fk forma um grupo abeliano sob multiplicação (f_j f_k)(g)= f_j(g) f_k(g) para cada elemento g \in G. Este grupo é o grupo de caráteres de G e é algumas vezes notado como \hat {G}. Esta é de ordem n. O elemento identidade de \hat {G} é o caráter principal f1. A inversa de fk é a recíproca 1/fk. Note que desde que \forall g \in G\;\; |f_k(g)|=1, a inversa igual ao conjugado complexo.

Ortogonalidade de caráteres[editar | editar código-fonte]

Considere-se a matriz n \times n A=A(G) cujo elementos são A_{jk}=f_j(g_k) onde g_k é o késimo elemento de G.

A soma das entradas na jésima linha de A é dada por

\sum_{k=1}^n A_{jk} = \sum_{k=1}^n f_j(g_k) = 0 if j \neq 1, e
\sum_{k=1}^n A_{1k} = n.

A soma das entradas na késima coluna A é dada por

\sum_{j=1}^n A_{jk} = \sum_{j=1}^n f_j(g_k) = 0 if k \neq 1, e
\sum_{j=1}^n A_{j1} = \sum_{j=1}^n f_j(e) = n.

Sendo que A^\ast denota o conjugado transposto de A. Então

AA^\ast = A^\ast A = nI.

Isto implica que a desejada relação de ortogonalidade para os caráteres: i.e.,

\sum_{k=1}^n {f_k}^* (g_i) f_k (g_j) = n \delta_{ij} ,

onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker e f^*_k (g_i) é o conjugado complexo de f_k (g_i).

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]