Característica de Euler

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em topologia, a característica de Euler é um invariante topológico, descoberto por Leonard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré.

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).

[editar] Definição

A característica de Euler de um complexo simplicial é dada por

onde é o número de células de dimensão .

[editar] Característica de Euler de superfícies

A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície é dada por , onde e são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de . Em particular a característica de Euler:

• da esfera é
• do plano projectivo é
• do disco é
• do toro é
• do anel é
• da garrafa de Klein é
• da fita de Möbius é

e em geral , onde é o género de , quando orientável e compacta.

[editar] Exemplos de poliedros convexos

Name	Image	Vértices V	Arestas A	Faces F	Característica de Euler: V − A + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro ou cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

[editar] Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.