Característica de Euler

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Este artigo não cita fontes fiáveis e independentes. (desde Maio de 2014). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por \chi (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial. Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.

Definição[editar | editar código-fonte]

A característica de Euler de um complexo simplicial M\, é dada por

\chi(M)=n_0-n_1+n_2-n_3+\cdots

onde n_k\, é o número de células de dimensão k\,.

Característica de Euler de superfícies[editar | editar código-fonte]

A característica de Euler de um cubo (topologicamente uma esfera) é 6-12+8=2.

A característica de Euler de uma superfície S\, é dada por \chi(S)=V-A+F\,, onde V,A\, e F\, são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de S\,. Em particular a característica de Euler:

e em geral \chi(S)=2-2g\,, onde g\, é o género de S\,, quando orientável e compacta.

Exemplos de poliedros convexos[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).

Name Image Vértices
V
Arestas
A
Faces
F
Característica de Euler:
VA + F
Tetraedro Tetrahedron.svg 4 6 4 2
Hexaedro ou cubo Hexahedron.svg 8 12 6 2
Octaedro Octahedron.svg 6 12 8 2
Dodecaedro POV-Ray-Dodecahedron.svg 20 30 12 2
Icosaedro Icosahedron.svg 12 30 20 2

Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar[editar | editar código-fonte]

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • Lakatos (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521290384