Característica de Euler
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Em topologia, a característica de Euler é um invariante topológico, descoberto por Leonard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré.
A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).
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[editar] Definição
A característica de Euler de um complexo simplicial
é dada por

onde
é o número de células de dimensão
.
[editar] Característica de Euler de superfícies
A característica de Euler de uma superfície
é dada por
, onde
e
são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de
. Em particular a característica de Euler:
- da esfera é

- do plano projectivo é

- do disco é

- do toro é

- do anel é

- da garrafa de Klein é

- da fita de Möbius é

e em geral
, onde
é o género de
, quando orientável e compacta.
[editar] Exemplos de poliedros convexos
| Name | Image | Vértices V |
Arestas A |
Faces F |
Característica de Euler: V − A + F |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | 4 | 6 | 4 | 2 | |
| Hexaedro ou cubo | 8 | 12 | 6 | 2 | |
| Octaedro | 6 | 12 | 8 | 2 | |
| Dodecaedro | 20 | 30 | 12 | 2 | |
| Icosaedro | 12 | 30 | 20 | 2 |
[editar] Característica de Euler de variedades de dimensão ímpar
Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.

