Cardioide

Em geometria, o cardióide é um epiciclóide que tem uma e somente uma ponta. Isto é, um cardióide é uma curva que pode ser produzida como um locus — traçando-se o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.

O cardióide é também um tipo especial de limaçon: é o limaçom de uma ponta. (A ponta é formada quando o raio de a até b na equação é igual a um).

Um cardióide é uma curva matemática cuja forma se assemelha à de um coração e por este motivo recebe o nome derivado do grego kardioeides = kardia:coração + eidos:forma.

Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardióide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de uma ameixa.

O cardióide é um transformador inverso de uma parábola.

A grande figura preta central em um conjunto Mandelbrot é um cardióide. Este cardióide é cercado por uma arranjo fractal de círculos.

Equações do cardióide

Uma vez que o cardióide é uma epiciclóide com uma ponta, as equações paramétricas do cardióide são:

$x(\theta) = \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta, \qquad \qquad$

$y(\theta) = \sin \theta + {1 \over 2} \sin 2 \theta. \qquad \qquad$

A mesma curva pode ser definida em coordenadas polares pela equação:

$\rho(\theta) = 1 + \cos \theta. \$

Gráficos

quatro gráficos dos cardióides orientado nos quatro sentidos cardeais, com suas respectivas equações polares.

Área

A área de um cardióide a que seja cogruente com

$\rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)$

é

$A = {3\over 2} \pi a^2$.

ver Provas.

Ver também

• Wittgenstein's rod
• microphone#Directionality

References

• Hearty Munching on Cardioids at cut-the-knot
• Xah Lee, Cardioid (1998) (This site provides a number of alternative constructions).
• Jan Wassenaar, Cardiod, (2005) in 862 two-dimensional mathematical curves.