Cardinal inacessível

Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um número cardinal $\kappa^{\,}$ é denominado inacessível se $\kappa^{\,}$ é um cardinal regular, não enumerável e limite forte. Essa propriedade é chamada as vezes de fortemente inacessível e é considerada uma propriedade de grande cardinal.

Definição formal

Um cardinal $\kappa^{\,}$ é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedades :

1) $\kappa^{\,}$ não é enumerável:

$\kappa^{\,} > \omega = \aleph_0$

onde $\omega = \aleph_0$ é o cardinal do conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$.

2) $\kappa^{\,}$ é regular:

$\mbox{cf}\left( \kappa^{\,} \right) = \kappa$

onde $\mbox{cf}\left( \kappa^{\,} \right)$ é a cofinalidade de $\kappa^{\,}$.

3) $\kappa^{\,}$ é limite forte:

$\forall\lambda < \kappa^{\,} \left( 2^{\lambda} < \kappa^{\,} \right)$

Um cardinal $\kappa^{\,}$ é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por:

3*) $\kappa^{\,}$ é cardinal limite:

$\forall\lambda < \kappa^{\,} \left( \lambda^{+} < \kappa^{\,} \right)$

Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade .

Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.

Cardinais inacessíveis e modelos de ZF

Em ZFC, se $V_\alpha$ é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se $\kappa^{\,}$ é inacessível, então $V_\kappa$ é um modelo de ZFC. Em particular, se $\kappa^{\,}$ é o primeiro inacessível, então $V_\kappa$ é um modelo de ZFC + "naõ existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente. Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente.

Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais "$2^{\omega}$ é fracamente inacessível" também é consistente.

Cardinais inacessíveis e teoria de números

Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente:

a afirmação (mas não a negação) do axioma [sobre a existência de cardinais inacessíveis] implica novos teoremas sobre inteiros

A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck:

Grothendieck dá uma prova do que os pesquisadores de teoria dos conjuntos já sabiam: a definição de um universo em ZFC é o mesmo que dizer U é o conjunto $\;V_{\alpha}\;$ de todos os conjuntos tomando valores menores que $\;\alpha^{\,}\;$ para algum cardinal não enumerável fortemente inacessível $\;\alpha^{\,}\;$.

Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.

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