Catenoide

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Uma bolha de sabão: dentre os sólidos de mesmo volume, a esfera é a que possui menor área superficial.

Uma catenóide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz [Ref. 1] .

Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas.

Entre todos os todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a menor área superficial possível. Não obstante, as bolhas de sabão são esféricas. De forma semelhante, a catenóide constitui solução para o problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de contorno, restrição agora imposta às bordas, e não ao volume, do objeto geométrico associado.

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

A catenóide é um problema típico atrelado ao cálculo das variações, área da matemática que busca determinar as funções que extremizam um dado funcional. O cálculo das variações tem aplicações importantes em Física, onde formalismos como a mecânica lagrangiana ou a mecânica hamiltoniana, formalismos em termos físicos alternativos e em tudo equivalentes ao da mecânica newtoniana, implicam ou decorrem do princípio de Hamilton, o qual extremiza uma grandeza física denominada ação[Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4] .

A apresentação do ferramental matemático necessário às formulações hamiltoniana e lagrangiana da mecânica em tratados sobre o assunto implicam a apresentação quase obrigatória, não apenas nos livros de cálculo mas também nos livros de Física, de problemas clássicos de extremização, a exemplos o de se determinar a menor curva contida em uma dada superfície conectando dois pontos especificados - cujas soluções definem as geodésicas da superfície, e que dá por solução uma reta quando a superfície em questão é plana, e um círculo máximo quando a superfície é esférica; o de se determinar a curva pela qual um objeto, quando abandonado em repouso em um ponto A mais alto que B, A e B não necessariamente alinhados verticalmente, escorrega sob a ação da gravidade até atingir o ponto B, fazendo-o contudo no menor tempo possível, problema conhecido como problema da braquistócrona e que tem por solução uma ciclóide; e por fim o problema da superfície de revolução passando por dois pontos especificados e que define a menor área, problema que tem por resultado a catenóide procurada. A catenária é a solução para o problema de se determinar a forma de uma corda ou cabo flexível com extremidades fixas quando sob a ação da gravidade; os fios da rede elétrica e os varais de roupa determinam curvas catenárias.

Adentrando as considerações matemáticas atreladas ao cálculo das variações e ao problema em mãos, para funcionais que possam ser escritos na forma:

 J_{\left(y_{(x)},\dot{y}_{(x)}\right)} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{(y_{(x)}, \dot{y}_{(x)},x)} dx [Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

onde o ponto sobre uma variável designa a derivada em relação ao parâmetro x, ( \dot{y} = \frac {dy}{dx} ), e onde x1 e x1 juntamente com suas respectivas ordenadas Y(x1) e Y(x2) associam-se a pontos fixos, o cálculo das variações dá por resultado que, para J ser um extremo, a função no integrando deve satisfazer à equação de Euler-Lagrange:

 \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial f}{\partial\dot{y}} \right ) - \frac{\partial f}{\partial y} = 0 [Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

Em física, se a função  f_{(y, \dot y, x)} for a lagrangiana do sistema e o parâmetro x corresponder ao tempo t, extremizar J implica extremizar a ação, conforme o princípio de Hamilton.

No problema da catenóide quer-se extremizar a área A da superfície de revolução gerada pela curva y(x) que passa por dois pontos dados Y(x1) e Y(x2), de forma que J corresponde, nesse caso, à área A da superfície.

Uma catenóide construída com película de sabão. A catenária associada tem equação:  x = a . cosh (\frac {y-b}{a}) , com "a" e "b" constantes adequadamente escolhidas. A catenária deve ser volvida ao redor do eixo Y a fim de se obter o catenóide. O catenóide representa a superfície com menor área que satisfaz às condições de contorno - na figura as armações de fio, em azul - inerentes à situação.
 A_{\left(y_{(x)},\dot{y}_{(x)}\right)} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{(y_{(x)}, \dot{y}_{(x)},x)} dx

A fim de se determinar o integrando  f_{(y,\dot y,x)} , observa-se inicialmente que curva y(x) determina, para cada ponto de abscissa x, um diferencial de caminho  \vec ds tal que, em notação de pontos cartesianos:

 \vec {ds} = (dx,dy) = (dx, \dot {y} dx).

de onde ds, o módulo de  \vec {ds} , vale:

 ds = \sqrt {{dx}^2 + {dy}^2} = dx.\sqrt {{1 + {\dot y}^2}}

A área gerada pela revolução desse diferencial de caminho em torno do eixo coordenado Y, ou seja, o diferencial de área dA a ele associado, é por tal a área da superfície de um anel com raio x, perímetro  P=2 \pi x e espessura  ds = dx.\sqrt {{1 + {\dot y}^2}}:

 dA = 2 \pi x ds = 2 \pi x (\sqrt{1+ \dot y ^2}) dx [Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

de onde:

 A_{\left(y,\dot{y} \right)} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dA_{(y, \dot y, x)} = 2 \pi  \int_{x_{1}}^{x_{2}} x (\sqrt{1+ \dot y ^2}) dx .

A função  f_{(y, \dot y, x)} associada ao problema é pois:

 f_{(y, \dot y, x)} = x (\sqrt{1+ \dot y ^2}) [Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

A função y deve ser tal que f satisfaça então a equação de Euler-Lagrange. Determinado-se as derivadas nela contidas, tem-se respectivamente:

  \frac{\partial f}{\partial\ y} = 0
  \frac{\partial f}{\partial\dot{y}} = \frac {x \dot y}{\sqrt {1 + \dot y^2}}

o que, inspecionando a forma da equação, implica, para a veracidade da mesma,

  \frac {d}{dx} [\frac {x \dot y}{\sqrt {1 + \dot y^2}}] = 0

ou seja,

  \frac {x \dot y}{\sqrt {1 + \dot y^2}} = \text {constante} = a .
Cordas em suspensão determinando catenárias.

Isolando-se  \dot y e integrando tem-se que:

 \dot y = \frac {a}{\sqrt{x^2-a^2}}
 y = \int \frac {a.dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

que, consultando-se uma tabela de integrais - em particular uma lista de integrais de funções irracionais- implica uma equação em arco cosseno hiperbólico para a curva a ser volvida.

 y_{(x)}= a . arccosh{(\frac{x}{a})} + b

onde a e b são constantes de integração.

Isolando-se x tem-se, como afirmado na definição de catenóide, a equação de uma catenária:

 x = a . cosh (\frac {y-b}{a}) [Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

Os valores de a e b podem agora ser determinados impondo-se a condição de que a curva passe pelos pontos extremos conhecidos  Y_{(x_1)} e  Y_{(x_2)} inicialmente especificados no problema.


Referências

  1. Melo, Adson Sampaio - Dissertação de mestrado - Algumas Caracterizac»oes do Catenóide - Universidade Federal da Bahia - Salvador, Bahia - 2006
  2. a b c d e f Classical Dynamics of Particles and Systems - Thornton, Marion - 4 Edition - Sounders College Publishing - ISBN: 0-03-097302-3
  3. a b c d e f Aguiar, Márcio A. M. de - Tópicos em Mecânica Clássica - 11 de novembro de 2010
  4. a b c d e f Goldstein, Rebert - Classical Mechanics - Second Edition - Addison-Wesley Publishing Company - Columbia University - ISBN: 0-201-02918-9
  • Outras referências:


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Algumas Caracterizacões do Catenóide

Geometria das Superfícies Mínimas em R³ e Superfícies Máximas tipo Espaço em L³

Ver também[editar | editar código-fonte]