Circuito LC

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Esquema elétrico de um circuito LC
Diagrama animado do circuito LC

Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicacões, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência.

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar entre ele a uma frequência angular de

\omega = \sqrt{1 \over LC},

onde

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Frequência de ressonância[editar | editar código-fonte]

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

\omega = \sqrt{1 \over LC}

A frequência equivalente, medida em hertz é

f = {1 \over {2 \pi \sqrt{LC}}}

Análise do circuito[editar | editar código-fonte]

Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, V _{C} deve ser igual à tensão através do indutor, V _{L}:

V _{C} = V_{L}

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

i_{C} + i_{L} = 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

V _{L}(t) = L \frac{di_{L}}{dt}

e

i_{C}(t) = C \frac{dV_{C}}{dt}

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \frac{1}{LC} i(t) = 0

Então definimos o parâmetro ω como segue:

\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

\frac{d ^{2}i(t)}{dt^{2}} + \omega^ {2} i(t) = 0

O polinomial associado é s ^{2} + \omega^ {2} = 0, então

s = +j \omega

ou

s = -j \omega
onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

i(t) = Ae ^{+j \omega t}  +   Be ^{-j \omega t}

e pode ser resolvida para A e B considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.

Se as condições iniciais são tais que A = B, então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude 2A e frequência angular \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}.

Deste modo, a solução resultante se torna:

i(t) = 2 A cos(\omega t)

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

i(t=0) = 2 A

e

\frac{di}{dt}(t=0) = 0

Cálculo da capacitância ou da indutância[editar | editar código-fonte]

A equação F = {1 \over {2 \pi \sqrt{LC}}} recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.

Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância: C = {1 \over {LF^{2}4\pi^{2}}}

Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância: L = {1 \over {CF^{2}4\pi^{2}}}

Impedância dos circuitos LC[editar | editar código-fonte]

LC série[editar | editar código-fonte]

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

Z = Z_{L} + Z_{C}

Escrevendo a impedância indutiva como Z_{L} = i \omega L, a impedância capacitiva como Z_{C} = \frac{-i}{\omega C} e substituindo nós temos:

Z = i \omega L + \frac{-i}{\omega C}

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

Z = \frac{(\omega^{2} L C - 1)i}{\omega C}

Note que o numerador implica que se \omega^{2} L C =1 a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

LC paralelo[editar | editar código-fonte]

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

Z=\frac{Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}

e após a substituição de Z_{L} e Z_{C}, nós temos:

Z=\frac{\frac{L}{C}}{\frac{(\omega^{2}LC-1)i}{\omega C}}

o que simplifica a:

Z=\frac{-L\omega i}{\omega^{2}LC-1}

Note que  \lim_{\omega^{2}LC \to 1}Z = \infty porém para todos os outros valores de \omega^{2} L C a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinida na frequência de ressonância do circuito LC.

Seletividade[editar | editar código-fonte]

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quando maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Portal A Wikipédia possui o portal: