Classe de equivalência

Em matemática, dado um conjunto $X\,$ com uma relação de equivalência $\sim \,$, a classe de equivalência de um elemento $a\in X\,$ é o subconjunto de todos os elementos de $X\,$ que são equivalentes a $a\,$.

• $[a]=\{x\in X\quad |\quad a\sim x\}$

Exemplo

• Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros $\mathbb {Z} \,$ por x ~ y quando x - y for um número par. Então $\ldots =[-3]=[-1]=[1]=[3]=\ldots \,$ é uma classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, $\ldots =[-2]=[0]=[2]=\ldots \,$ é outra classe de equivalência.

Propriedades

• Se $x\sim y\Rightarrow [x]=[y]$;
• Classes de equivalência diferentes não têm elementos em comum: Se $[x]\neq [y]$ então $[x]\cap [y]=\varnothing$;
• Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: $\forall x,y\in X\ ([x]=[y]\ \lor \ [x]\cap [y]=\varnothing )$;
• A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = $\cup _{\forall x\in X}$ [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

$X/\sim =\{[x]\quad |\quad x\in X\}$

Note que, como para cada elemento $x\in X$ podemos associar um elemento de $[x]\in X/\sim$, existe uma função natural de $X\rightarrow X/\sim$. Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em $\left[0,1\right]\in \mathbb {R} \,$ definida por $x\sim y\leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,$, e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja $\sim \,$ uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto $X_{1}\subset X\,$ que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.