Coeficiente de correlação de postos de Spearman

O coeficiente de correlação de Spearman é menos sensível do que o de Pearson a valores muito distantes do esperado. Neste exemplo: Pearson = 0.30706 Spearman = 0.76270

Na estatística, o coeficiente de correlação de postos de Spearman, chamado assim devido a Charles Spearman e normalmente denominado pela letra grega ρ (rho), é uma medida de correlação não-paramétrica, isto é, ele avalia uma função monótona arbitrária que pode ser a descrição da relação entre duas variáveis, sem fazer nenhumas suposições sobre a distribuição de frequências das variáveis.

Ao contrário do coeficiente de correlação de Pearson, não requer a suposição que a relação entre as variáveis é linear, nem requer que as variáveis sejam medidas em intervalo de classe; pode ser usado para as variáveis medidas no nível ordinal.

Se não houver nenhum posto estabelecido, isto é.$\neg\exists_{i,j} i\ne j \wedge (x_i=x_j \vee y_i=y_j)$

o ρ é dado por:

$\rho = 1- {\frac {6 \sum d_i^2}{(n^3-n)}}$

Onde:

$d_i$ = a diferença entre cada posto de valor correspondentes de x e y, e

$n$ = o número dos pares dos valores.

Para amostras maiores que 20 observações, podemos utilizar a seguinte aproximação para a distribuição t de Student

$t = \frac{\rho}{\sqrt{(1-\rho^2)/(n-2)}}$

Exemplo

Neste exemplo, usaremos os dados brutos da tabela abaixo para calcular a correlação entre o QI de uma pessoa com o número de horas de televisão assistidas por semana.

QI, $X_i$	Horas de TV por semana, $Y_i$
106	7
86	0
100	27
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Primeiro, precisamos achar o valor do termo $d^2_i$. Para fazer isto executamos os seguintes passos:

1. Ordene os dados pela primeira coluna ($X_i$). Crie uma nova coluna $x_i$ e escreva nela os valores dos postos 1,2,3,...n.
2. Em seguida, ordene os dados pela segunda coluna ($Y_i$). Crie uma quarta coluna $y_i$ e analogamente coloque os valores dos postos 1,2,3,...n.
3. Crie uma quinta coluna $d_i$ para conter as diferenças entre as duas colunas de postos ($x_i$ e $y_i$).
4. Crie uma última coluna $d^2_i$ para conter os valores da coluna $d_i$ ao quadrado.

IQ, $X_i$	Horas de TV por semana, $Y_i$	posto $x_i$	posto $y_i$	$d_i$	$d^2_i$
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

Somamos os $d^2_i$ e encontramos $\sum d_i^2 = 194$. O valor de n é 10. Agora estes valores podem ser substituidos na equação,

$\rho = 1- {\frac {6\times194}{10(10^2 - 1)}}$

Que fornecem ρ = −0.175757575... Com um valor-P = 0.6864058 (usando a Distribuição-t)

Este valor pequeno mostra que a correlação entre QI e o número de horas assistindo TV é pequena.

obs. Se existem dados com o mesmo posto (dados iguais), o posto dos valores que são iguais é a média dos postos que lhes corresponderiam se não fossem iguais.

Ex:

QI, $X_i$	Horas de TV por semana, $Y_i$
106	7
86	0
100	28
100	50
99	28
103	28
97	20
113	12
113	7
110	17

QI (i), $X_i$	Horas de TV por semana (t), $Y_i$	posto(i)	posto(t)	d	d2
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	4	16
99	28	3	8	5	25
100	50	4.5	10	5.5	30.25
100	28	4.5	8	3.5	12.25
103	28	6	8	2	4
106	7	7	2.5	4.5	20.25
110	17	8	5	3	9
113	7	9.5	2.5	7	49
113	12	9.5	4	5.5	30.25

Ver também

• Correlação
• Coeficiente de correlação de Pearson