Coeficiente de restituição

O movimento de uma bola capturada com flash estroboscópio de 25 imagens por segundo. Ignorando a resistência do ar, a raiz quadrada da razão da altura que a bola atinge em uma batida pela altura que ela atinge na batida conseguinte resulta no coeficiente de restituição da bola/superfície de impacto.

O coeficiente de restituição ou CR de um objeto é uma valor fracionário que representa a razão das velocidades antes e após o impacto. Um objecto com CR 1 colide elasticamente, enquanto um objeto com CR 0 colide inelasticamente.

Equação

O coeficiente, para a colisão de dois objetos, é definido como:

$e = \frac{v'_{b} - v'_{a}}{v_{a} - v_{b}}$

onde

$v'_{a}$ é a velocidade escalar final do primeiro objeto após o impacto

$v'_{b}$ é a velocidade escalar final do segundo objeto após o impacto

$v_{a}$ é a velocidade escalar inicial do primeiro objeto antes do impacto

$v_{b}$ é a velocidade escalar inicial do segundo objeto antes do impacto

Para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão:

$e = \frac{v'_{f}}{v_{i}}$, onde

$V_{f}$ é a velocidade escalar do objeto após o impacto

$V_{i}$ é a velocidade escalar do objeto antes do impacto

O coeficiente também pode ser encontrado com:

$e = \sqrt{\frac{h}{H}}$

para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão, onde

$h$ é a altura máxima atingida em um dado ressalto

$H$ é a altura máxima atingida no ressalto anterior ao considerado para h

É possível descrever uma fórmula para a aplicação do coeficiente de restituição no choque entre dois corpos, independente da elasticidade do mesmo. Pode-se escrever

$v'_a=\frac{Q + m_b e(v_b-v_a)}{m_a+m_b}$

e

$v'_b=\frac{Q + m_a e(v_a-v_b)}{m_a+m_b}$

onde

$Q = m_a v_a + m_b v_b$ é a quantidade de movimento/momento linear do sistema (conservado), no caso dado em função das velocidades escalares dos objetos antes do impacto

$v'_{a}$ é a velocidade final do primeiro objeto após o impacto

$v'_{b}$ é a velocidade final do segundo objeto após o impacto

$v_{a}$ é a velocidade inicial do primeiro objeto antes do impacto

$v_{b}$ é a velocidade inicial do segundo objeto antes do impacto

$m_{a}$ é a massa do primeiro objeto

$m_{b}$ é a massa do segundo objeto

Essa fórmula pode ser deduzida a partir da solução de um sistema de equações, sendo a primeira a lei da conservação do momento linear do sistema e a segunda a definição do coeficiente de restituição:

$\begin{cases} m_{a}v'_{a} + m_{b}v'_{b} = (m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b})\\ -v'_{a} + v'_{b} = e(v_{a} - v_{b}) \end{cases}$

Multiplicando a equação de baixo por $m_a$, vem

$\begin{cases} m_{a}v'_{a} + m_{b}v'_{b} = (m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b})\\ -m_a v'_{a} + m_a v'_{b} = m_a e(v_{a} - v_{b}) \end{cases}$

Somando-se as duas equações, cancela-se o termo em $m_a$. Portanto, tem-se, chamando-se $(m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b})$ de $Q$:

$\begin{align} &m_{b}v'_{b} + m_a v'_{b} = m_a e(v_{a} - v_{b})+Q\\ &v'_b(m_a+m_b)=Q + m_a e (v_a-v_b)\\ &v'_b=\frac{Q + m_a e (v_a-v_b)}{m_a+m_b} \end{align}$

Obviamente, basta que se repita a resolução do sistema para determinar a equação em função do corpo $a$.

Ligações externas

• Coeficiente de Restituição no ScienceWorld
• Uma tabela de CR de vários materiais
• Chris Hecker's physics introduction
• ``Getting an extra bounce" by Chelsea Wald