Coeficiente de restituição

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O movimento de uma bola capturada com flash estroboscópio de 25 imagens por segundo. Ignorando a resistência do ar, a raiz quadrada da razão da altura que a bola atinge em uma batida pela altura que ela atinge na batida conseguinte resulta no coeficiente de restituição da bola/superfície de impacto.

O coeficiente de restituição ou CR de um objeto é uma valor fracionário que representa a razão das velocidades antes e após o impacto. Um objecto com CR 1 colide elasticamente, enquanto um objeto com CR 0 colide inelasticamente.

Equação[editar | editar código-fonte]

O coeficiente, para a colisão de dois objetos, é definido como:

e = \frac{v'_{b} - v'_{a}}{v_{a} - v_{b}}

onde

v'_{a} é a velocidade escalar final do primeiro objeto após o impacto
v'_{b} é a velocidade escalar final do segundo objeto após o impacto
v_{a} é a velocidade escalar inicial do primeiro objeto antes do impacto
v_{b} é a velocidade escalar inicial do segundo objeto antes do impacto

Para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão:

e = \frac{v'_{f}}{v_{i}}, onde
V_{f} é a velocidade escalar do objeto após o impacto
V_{i} é a velocidade escalar do objeto antes do impacto

O coeficiente também pode ser encontrado com:

e = \sqrt{\frac{h}{H}}

para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão, onde

h é a altura máxima atingida em um dado ressalto
H é a altura máxima atingida no ressalto anterior ao considerado para h

É possível descrever uma fórmula para a aplicação do coeficiente de restituição no choque entre dois corpos, independente da elasticidade do mesmo. Pode-se escrever

v'_a=\frac{Q + m_b e(v_b-v_a)}{m_a+m_b}
e
v'_b=\frac{Q + m_a e(v_a-v_b)}{m_a+m_b}

onde

Q = m_a v_a + m_b v_b é a quantidade de movimento/momento linear do sistema (conservado), no caso dado em função das velocidades escalares dos objetos antes do impacto
v'_{a} é a velocidade final do primeiro objeto após o impacto
v'_{b} é a velocidade final do segundo objeto após o impacto
v_{a} é a velocidade inicial do primeiro objeto antes do impacto
v_{b} é a velocidade inicial do segundo objeto antes do impacto
m_{a} é a massa do primeiro objeto
m_{b} é a massa do segundo objeto

Essa fórmula pode ser deduzida a partir da solução de um sistema de equações, sendo a primeira a lei da conservação do momento linear do sistema e a segunda a definição do coeficiente de restituição:


\begin{cases}
m_{a}v'_{a} + m_{b}v'_{b} = (m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b})\\
-v'_{a} + v'_{b} = e(v_{a} - v_{b})
\end{cases}
Multiplicando a equação de baixo por m_a, vem

\begin{cases}
m_{a}v'_{a} + m_{b}v'_{b} = (m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b})\\
-m_a v'_{a} + m_a v'_{b} = m_a e(v_{a} - v_{b})
\end{cases}
Somando-se as duas equações, cancela-se o termo em m_a. Portanto, tem-se, chamando-se (m_{a}v_{a} + m_{b}v_{b}) de Q:

\begin{align}
&m_{b}v'_{b} + m_a v'_{b} = m_a e(v_{a} - v_{b})+Q\\
&v'_b(m_a+m_b)=Q + m_a e (v_a-v_b)\\
&v'_b=\frac{Q + m_a e (v_a-v_b)}{m_a+m_b}
\end{align}

Obviamente, basta que se repita a resolução do sistema para determinar a equação em função do corpo a.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]