Coeficiente de restituição

O movimento de uma bola capturada com flash estroboscópio de 25 imagens por segundo. Ignorando a resistência do ar, a raiz quadrada da razão da altura que a bola atinge em uma batida pela altura que ela atinge na batida conseguinte resulta no coeficiente de restituição da bola/superfície de impacto.

O coeficiente de restituição ou CR de um objeto é um valor fracionário que representa a razão das velocidades antes e após o impacto. Um objecto com CR 1 colide elasticamente, enquanto um objeto com CR 0 colide inelasticamente.

Equação

O coeficiente, para a colisão de dois objetos, é definido como:

$e={\frac {v'_{b}-v'_{a}}{v_{a}-v_{b}}}$

onde

$v'_{a}$ é a velocidade escalar final do primeiro objeto após o impacto

$v'_{b}$ é a velocidade escalar final do segundo objeto após o impacto

$v_{a}$ é a velocidade escalar inicial do primeiro objeto antes do impacto

$v_{b}$ é a velocidade escalar inicial do segundo objeto antes do impacto

Para um objeto quicando sobre outro objeto estacionário, tal como o chão:

$e={\frac {v'_{f}}{v_{i}}}$, onde

$V_{f}$ é a velocidade escalar do objeto após o impacto

$V_{i}$ é a velocidade escalar do objeto antes do impacto

O coeficiente também pode ser encontrado com:

$e={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

para um objeto colidindo com outro objeto estacionário, tal como o chão, onde

$h$ é a altura máxima atingida em um dado ressalto

$H$ é a altura máxima atingida no ressalto anterior ao considerado para h

É possível descrever uma fórmula para a aplicação do coeficiente de restituição no choque entre dois corpos, independente da elasticidade do mesmo. Pode-se escrever

$v'_{a}={\frac {Q+m_{b}e(v_{b}-v_{a})}{m_{a}+m_{b}}}$

e

$v'_{b}={\frac {Q+m_{a}e(v_{a}-v_{b})}{m_{a}+m_{b}}}$

onde

$Q=m_{a}v_{a}+m_{b}v_{b}$ é a quantidade de movimento/momento linear do sistema (conservado), no caso dado em função das velocidades escalares dos objetos antes do impacto

$v'_{a}$ é a velocidade final do primeiro objeto após o impacto

$v'_{b}$ é a velocidade final do segundo objeto após o impacto

$v_{a}$ é a velocidade inicial do primeiro objeto antes do impacto

$v_{b}$ é a velocidade inicial do segundo objeto antes do impacto

$m_{a}$ é a massa do primeiro objeto

$m_{b}$ é a massa do segundo objeto

Essa fórmula pode ser deduzida a partir da solução de um sistema de equações, sendo a primeira a lei da conservação do momento linear do sistema e a segunda a definição do coeficiente de restituição:

${\begin{cases}m_{a}v'_{a}+m_{b}v'_{b}=(m_{a}v_{a}+m_{b}v_{b})\\-v'_{a}+v'_{b}=e(v_{a}-v_{b})\end{cases}}$

Multiplicando a equação de baixo por $m_{a}$, vem

${\begin{cases}m_{a}v'_{a}+m_{b}v'_{b}=(m_{a}v_{a}+m_{b}v_{b})\\-m_{a}v'_{a}+m_{a}v'_{b}=m_{a}e(v_{a}-v_{b})\end{cases}}$

Somando-se as duas equações, cancela-se o termo em $m_{a}$. Portanto, tem-se, chamando-se $(m_{a}v_{a}+m_{b}v_{b})$ de $Q$:

${\begin{aligned}&m_{b}v'_{b}+m_{a}v'_{b}=m_{a}e(v_{a}-v_{b})+Q\\&v'_{b}(m_{a}+m_{b})=Q+m_{a}e(v_{a}-v_{b})\\&v'_{b}={\frac {Q+m_{a}e(v_{a}-v_{b})}{m_{a}+m_{b}}}\end{aligned}}$

Obviamente, basta que se repita a resolução do sistema para determinar a equação em função do corpo $a$.

Ligações externas

• Coeficiente de Restituição no ScienceWorld
• Uma tabela de CR de vários materiais
• Chris Hecker's physics introduction
• ``Getting an extra bounce" by Chelsea Wald