Coeficientes a determinar

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A método dos coeficientes a determinar fornece uma solução particular para uma equação linear não homogênea

ay''+by'+cy=d(x)

Se conhecemos a função d=d(x), o objetivo será obter uma solução particular y_{p}=y_{p}(x) que possa ser escrita como combinação linear de um conjunto linearmente independente de funções.[1]

O problema fica mais fácil quando esta função d=d(x) tem alguma das formas abaixo.

Polinômio de grau n na variável independente[editar | editar código-fonte]

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

Múltiplo de uma função exponencial[editar | editar código-fonte]

A solução procurada deverá estar na forma:

y_{p}(x)=ke^{rx}

Combinação linear das funções cos(kx) e sen(kx)[editar | editar código-fonte]

Solução procurada na forma:

y_{p}(x)=A \cos (kx) + B \sin (kx)

Soma das formas anteriores[editar | editar código-fonte]

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)

onde y_{1}=y_{1}(x) é a solução obtida na primeira forma e y_{2}=y_{2}(x) é a solução obtida na segunda forma.

Produto das formas anteriores[editar | editar código-fonte]

A solução deverá estar na forma:

=y_{p}(x)=y_{1}(x)y_{2}(x)

onde y_{1}=y_{1}(x) é a solução obtida na primeira forma e y_{2}=y_{2}(x) é a solução obtida na segunda forma.

Observação: Se as funções sugeridas já aparecerem na solução geral da equação homogênea associada, então a sugestão para a nova função deverá ser a mesma função sugerida, multiplicada por x.[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Consideremos o operador diferencial linear L com coeficientes constantes e uma equação diferencial linear L(y)=d(x).[3]

L(y)=d(x) Forma da solução procurada
L(y)=3x^{2} y(x)=ax^{2}+bx+c
L(y)=7e^{3x} ae^{3x}
L(y)=17\cos (3x) y(x)=a\cos (3x)+b\sin (3x)
L(y)=7\sin (2x) y(x)=a\cos (2x)+b\sin (2x)
L(y)=7\sin (2x)+8\cos (2x) y(x)=a\cos (2x)+b\sin (2x)
L(y)=3e^{5x}+(x^{2}+7x+3) y(x)=de^{5x}+[ax^{2}+bx+c]
L(y)=y(x)=3e^{5x}(x^{2}+7x+3) y(x)=e^{5x}[ax^{2}+bx+c]
L(y)=3e^{5x}\sin(2x) y(x)=e^{5x}[a\cos(2x)+b\sin(2x)

Referências

  1. Equações Diferenciais Ordinárias p. 36. (2003). Página visitada em 12 de novembro de 2012.
  2. Equações Diferenciais Ordinárias p. 37. (2003). Página visitada em 12 de novembro de 2012.
  3. Equações Diferenciais Ordinárias p. 38. (2003). Página visitada em 12 de novembro de 2012.

Ver também[editar | editar código-fonte]