Condição de Paley-Wiener

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Em análise de sinais, a condição de Paley-Wiener, também conhecida como teorema de Paley-Wiener e critério de Paley-Wiener, estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é causal, a partir de sua resposta em frequência.

Se a resposta no domínio do tempo for dada por h(t)[nota 1] , então, se o sistema é causal,

  • a energia de h(t) é finita (condição de estabilidade da resposta)[nota 2] [nota 3] , e
  • h(t) = 0 para t < 0 (condição de causalidade da resposta).

O teorema de Paley-Wiener estabelece que, se as condições acima são satisfeitas, então a resposta no domínio da frequência do sistema, dada por H(ω)[nota 4] , é também limitada tal que


\int_{-\pi}^{\pi} \left| \ln ( H(\omega) ) \right| \; d \omega \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1a)


Inversamente, se a equação (1a) é satisfeita e a energia de H(ω) é finita, então as condições de estabilidade e causalidade do sistema são satisfeitas. Nesse caso, pode-se escrever a resposta em frequência na forma


H(\omega) \;=\; H_m(\omega) \;=\; |H(\omega)| \cdot e^{i \cdot \phi(\omega)} \;\;\;\;\; (2a)


onde φ(ω) é a resposta em fase do sistema[1] . Quando escrita nessa forma, H(ω) é chamada de função de transferência de mínima fase porque todos os seus zeros estão localizados na metade esquerda do plano complexo[2] .

A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte:


\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln (|h(t)|)|}{1 \;-\; t^2} \; dt \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1b)


A equação (1b) estabelece que a amplitude da resposta do sistema (|h(t)|) não pode se aproximar de 0 mais rapidamente que uma função exponencial qualquer[3] . Além disso, h(t) pode ser nula apenas em um número finito de pontos, nunca em um intervalo, porque nesse caso o valor do módulo do logaritmo seria infinito.[2] .

Uma terceira formulação matemática é a seguinte:


\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln (|H(\omega)|)|}{1 \;+\; \omega^2} \; d \omega \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1c)


que estabelece, para a resposta em frequência, uma condição similar à estabelecida pela equação (1b) para a resposta no domínio do tempo[2] .


Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Ou seja, h(t) é a saída do sistema quando um impulso unitário é aplicado na entrada.
  2. A energia de um sinal h(t) é calculada por meio do Teorema de Parseval/Teorema de Plancherel/fórmula de Rayleigh.
  3. Uma maneira alternativa de enunciar essa condição é dizer que h(t) é uma função de quadrado integrável
  4. Ou seja, a Transformada de Fourier de h(t).


Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. A. Poularikas - The Z-Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 6, pag. 530
  2. a b c S. Hahn - The Hilbert Transforms in A. Poularikas - op.cit., Cap. 7, pag. 639
  3. S. Hahn - op.cit., Cap. 7, pag. 630