Condição de contorno de Neumann

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Em matemática, a condição de contorno de Neumann (ou de segundo tipo) é um tipo de condição de contorno, nomeada devido a Carl Neumann1 . Quando aplicada a uma equação diferencial ordinária ou parcial, especifica o valores que a derivada de uma solução é tomada no contorno do domínio. Enquanto a Condição de contorno de Dirichlet especifica o valor da função no contorno, a condição de contorno de Neumann especifica a derivada normal à função no domínio, ou seja, é um fluxo.

No caso de uma equação diferencial ordinária, por exemplo tal como:

\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1

no intervalo [0,1] as condições de contorno de Neumann tomam a forma:

\frac{dy}{dx}(0) = \alpha_1
\frac{dy}{dx}(1) = \alpha_2

onde α1 e α2 são números dados.

Para uma equação diferencial parcial em um domínio \scriptstyle\Omega \subset \mathbb{R}^n tal como:

\nabla^2 y = 0

onde \nabla^2 denota o Laplaciano, a condição de contorno de Neumann toma a forma:

\frac{\partial y}{\partial n}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega.

Aqui, n denota a normal (tipicamente exterior) ao contorno ∂Ω e f é uma função escalar dada. A derivada normal a qual surge no lado esquerdo é definida como:

\frac{\partial y}{\partial n}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf{n}(x)

onde \scriptstyle\nabla é o (vetor) gradiente e o ponto é o produto interno com o vetor normal n.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Cheng, A. and D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.